Teori om snabb kraftspektroskopi | naturkommunikation

Teori om snabb kraftspektroskopi | naturkommunikation

Anonim

ämnen

  • Biologisk fysik
  • Optisk spektroskopi
  • Teoretisk fysik

Abstrakt

Vid dynamisk kraftspektroskopi bryts enskilda (bio-) molekylbindningar aktivt för att bedöma deras intervall och styrka. Vid låga belastningshastigheter kan de experimentellt uppmätta statistiska fördelningarna av brottkrafter analyseras med hjälp av Kramers teori om spontan bindning. De väsentligen deterministiska bindande händelserna inducerade av de extrema krafterna som används för att påskynda molekylsimulering i full skala har istället tolkats i mekaniska termer. Här börjar vi från en rigorös probabilistisk modell av bindningsdynamik för att utveckla en enhetlig systematisk teori som ger exakta slutna formuttryck för sprickkraftsfördelningar och medelbindande krafter, för långsamma och snabba belastningsprotokoll. Att jämföra dem med browniska dynamikssimuleringar, finner vi att de fungerar bra även vid mellanliggande dragkrafter. Detta gör dem till en idealisk följeslagare med Bayesianska metoder för dataanalys, vilket ger ett exakt verktyg för att analysera och jämföra kraftspektroskopidata från ett brett spektrum av experiment och simuleringar.

Introduktion

När det gäller mjukt material hänger strukturell stabilitet ofta på känsliga intermolekylära bindningar som lätt bryts isär genom yttre krafter. Den resulterande formbarheten är karakteristisk för biologiskt material på praktiskt taget alla skalor från enstaka proteiner 1, 2, 3 över cellulära byggnadsstrukturer 4 och individuella celler 5 till hela vävnader 6 . Tack vare utvecklingen av olika nanomanipuleringsmetoder kan intermolekylära interaktioner numera undersökas på en enda molekylnivå med användning av ett antal tekniker som ofta kallas 'dynamisk kraftspektroskopi ' 7, 8, 9, 10, 11, 12, vilket tillåter experimentisten för att isolera enstaka bindningsställen och undersöka deras styrka genom att snabbt och pålitligt inducera hundratals eller tusentals obindande händelser. Förmögenheten hos stokastiska bindningsbanor som sålunda erhålls analyseras rutinmässigt genom en schematisk men effektiv beskrivning av molekylära bindningar i termer av attraktionsintervallet xb och aktiveringsenergin

Image

av bindningspotentialen. För att extrahera kvantitativt användbara förutsägelser från denna enkla modell, måste alla teorier om obindande kinetik ge en rimlig tillnärmning till den underliggande molekylära dynamiken. Vid de relativt låga belastningshastigheterna som konventionellt realiserades i experiment kan eventuella kortvariga effekter som uppstår från den begränsade avslappningstiden för bindningen i sig själv försummas. Detta har möjliggjort utvecklingen av en rad analytiska teorier om tvingande bindningsbrytande som i hög grad underlättar analys och tolkning av dynamiska kraftspektroskopidata 13, 14, 15, 16, 17, 18 . Däremot fungerar detaljerade molekylära dynamikssimuleringar 2 vanligtvis i den motsatta gränsen för mycket höga belastningshastigheter, där bindning bryts blir väsentligen deterministisk 19 . Nyligen löser även enmolekylanalyser alltmer den hittills svårfångade snabba dynamiken av bindningsbrytning och åtföljande makromolekylära konformationella förändringar, till exempel i proteinutveckling vid snabb belastning 20, eller stram DNA-rekyl 21 och supercoiling 22 . Detta ger ett starkt incitament att också driva de befintliga teorierna till högre belastningsgrader. Trots experimentella framsteg och förbättrade beräkningsförmågor 23, förblir dessutom utmaning av belastningsgraden som används i experimentella och simuleringsstudier utmanande 20, vilket gör utvecklingen av en enhetlig analytisk teori för dynamisk kraftspektroskopi, som täcker både snabb och långsam belastningshastighet, allt desto mer önskvärt.

För detta ändamål härleder vi i följande en sannolikhetsteori om dynamisk kraftspektroskopi i andan av Bell 24, Evans & Ritchie 13 och Dudko, Hummer & Szabo 14 som blir exakt vid höga externa krafter (eller, likvärdigt, höga laddningshastigheter) och reducerar till etablerade resultat vid låga laddningshastigheter. Vi tillhandahåller tydliga analysresultat med slutna former för de vanligaste experimentella belastningsprotokollen. De instämmer i exakta numeriska simuleringar av den mikroskopiska bindningsmodellen för alla belastningshastigheter, förutom för en smal region vid övergången från diffusionsdominerad till deterministisk dynamik. Detta gör dem till en idealisk följeslagare med Bayesiska metoder 25 och ett naturligt val för analys av både spektroskopiförsök och simuleringar. Dessutom visar vi att dessa resultat utgör den lägsta ordningens tillnärmning till en rigorös matematisk formulering av undvikelseskinetik, vilket öppnar vägen för deras systematiska förlängning till högre precision.

Resultat

Teori

Molekylära bindnings- och bindningsövergångar ligger i kärnan i varje kemisk reaktion och har därför undersökts noggrant långt före tillkomsten av enkelmolekylmanipulationstekniker. 1940 fastställde Kramers en omfattande, analytiskt spårbar teori om kemiska reaktionshastigheter 26 som sedan dess har blivit synonymt med reaktionshastighetsteori och som fortfarande kan betraktas som känd för de flesta tillämpningar. Grundtanken är att en molekylär bindning motsvarar ett lokalt minimifri energi och därmed förblir stabilt under svaga störningar. Dess termiska fluktuationer kan representeras, inom en effektiv bild, av de från en brunisk partikel fångad i någon endimensionell bindningspotential U ( x ), med 'reaktionskoordinaten' x som normalt motsvarar avståndet mellan två bindningspartners. Funktionen U ( x ) bör ha ett stabilt minimum vid x = 0, omgiven av ett attraktionsområde som sträcker sig till någon ändlig koordinat x b > 0 utöver vilken U ( x ) antingen försvinner eller blir avvisande. Så snart partikeln har lämnat attraktionsbassängen, x ( t )> x b, kan bindningen betraktas som trasig. Uteslutande av möjligheten till kvantmekanisk tunnling, som är försumbar i makromolekylär skala, är dissocieringsprocessen en dragkamp mellan värme- och potentiella krafter. De termiska krafterna driver bindningskoordinaten x diffust ut ur det bundna tillståndet och den deterministiska kraften F ( x ) = - U ′ ( x ) drar tillbaka den till ursprunget. På en sannolikhetsnivå kan dissocieringsgraden för en ensemble av initialt bundna partiklar härledas från en tillhörande Fokker – Planck-ekvation 27, en partiell differentiell ekvation för den tidsberoende fördelningen av partiklar som är matematiskt exakt, men inte kan lösas i stängd form utan hjälp av ytterligare förenkling av antaganden. I de flesta fall av praktiskt intresse, aktiveringsenergin

Image

är stor jämfört med värmeenergiskala,

Image

>> k B T. Dissociation blir då en sällsynt händelse, vilket lämnar tillräckligt med tid för eventuella transienter orsakade av den snabba mikroskopiska bindningsdynamiken att dö ut. I den stabila situationen som följer är en noggrann analytisk lösning av Fokker – Planck-ekvationen möjlig 26, vilket ger en tidsoberoende bindningsgrad k som skalar exponentiellt i aktiveringsenergin, k ∝ exp (-

Image

/ k B T ).

Detta ger en naturlig utgångspunkt för analysen av kraftinducerad bindningsbrist. En extern dragkraft F verkar längs reaktionskoordinaten x 'lutar' den inre bindningspotentialen U , vilket sänker den effektiva fria energibarriären och ökar bindningsgraden. Inom Bell-modellen 24 antas reaktionsavståndet xb att förbli fixerat under den yttre kraften, så att den kraftberoende bindningsgraden omedelbart följer som k ( F ) = k (0) exp ( Fx b / k B T ) . Reaktionshastigheterna mäts emellertid inte direkt i experiment med enmolekyl, där faktiska bindningsperioder kan följa en bred statistisk fördelning. Även externa krafter är vanligtvis inte konstanta i tiden. I ett typiskt experiment dras molekylära bindningar isär med användning av tillbakadragande ställdon såsom AFM-utskjutningar som uppvisar Hookean-sträckningsbeteende och utövar därför krafter som växer linjärt med deras tillbakadragningsavstånd. Antagande av en yttre kraft F ( t ) som stadigt ökar i tid, Evans & Ritchie 13 härledde från den kraftberoende bindningsgraden k ( F ) ett allmänt uttryck för den experimentellt uppmätta fördelningen p ( F ) av brottkrafter,

Image

Här är kraftberoendet av belastningshastigheten

Image

är valfritt, men kan användas för att ta hänsyn till olinjära belastningsprotokoll eller icke-linjärt elastiska kraftomvandlare såsom polymerlänkar 28, 29 . För en bindemedelspotential och en cusp-formad bindningspotential med begränsat intervall kunde Evans & Ritchie vidare förbättra den fenomenologiska Bell-modellen genom att redovisa kraftsinducerade förändringar i reaktionsavståndet x b . Med fokus på en linjärt ökande yttre kraft, gav Dudko, Hummer & Szabo senare analytiska resultat för cuspformade 19 och linjära kubiska 30 bindningspotentialer. Dessa kunde slutligen kondenseras till ett enhetligt uttryck för spridningskraftsfördelningen och dess första två moment som innehöll en ny passningsparameter för att smidigt interpolera mellan olika potentiella former 14, 15 . En nyligen skörd av teorier utjämnade det fria energilandskapet genom att ta hänsyn till kraftfluktuationerna för styva ställdon 16, 17, 18 (det vill säga ställdon med en fjäderkonstant

Image

). Dessa teorier tillhandahåller numera standardverktygen som används för att konvertera histogram av brottkraft som erhållits från kraftspektroskopiförsök till uppskattningar av de underliggande bindningspotentialerna.

Ur dynamisk synvinkel förlitar sig dessa tillvägagångssätt fortfarande på en stark skillnad mellan den korta tidsskalan för den interna bindningsdynamiken och den långa tidsskalan för bindningsdissociation. Även om denna tillnärmning är väl motiverad i den ursprungliga Kramers-teorin 26 om en kraftfri bindning, är den tvungen att brytas ned så snart den externa belastningen blir tillräckligt snabb för att effektivt släta ut energisperren innan brott inträffar. I så fall blir bindningen väsentligen deterministisk eftersom bindningen sopas bort ballistiskt av den yttre kraften. Som visas av Hummer & Szabo 19 för en harmonisk cusppotential, kan man noggrant förutsäga medelbrottkraften vid höga belastningsgrader genom att försumma stokastiska fluktuationer helt och därefter erhålla en global tillnärmning till medelbrottkraften genom att manuellt interpolera mellan högkraftsresultatet och en konventionell teori som står för lågräntestyret.

I det följande härleder vi en probabilistisk teori om tvingad bindning som inkluderar fluktuationer även vid höga draghastigheter och blir exakta både i gränserna för hög och låg belastningshastighet. Redan de ledande ordningsresultaten för denna teori överträffar tidigare arbete; dessutom ger det en systematisk väg för ytterligare förbättringar. Vi börjar med samma cusp-formade bindningspotential som Hummer & Szabo,

Image

Formellt blir potentialen negativt oändlig vid x = x b, vilket motsvarar ett absorberande gränstillstånd (därmed ignoreras återuppblandning, som snabbt blir försumbar under extern belastning 1 ). Även om det kan hävdas 14 att en linjär-kubisk potential utgör en mer trogen tillnärmning till många verkliga bindande potentialer, kommer vi att visa i det följande att den praktiska skillnaden mellan båda modellerna ofta är obetydlig; vad vi förlorar i allmänhet består mer än av vad vi får i termer av analytisk spårbarhet.

För att ställa in scenen sammanfattar vi först några grundläggande definitioner. Den tidsberoende sannolikheten W ( x , t ) d x för att hitta någon partikel i ensemblen mellan x och x + d x följer från Fokker – Planck-ekvationen 27

Image

Image

Image

Här betecknar D diffusionskoefficienten och V ( x , t ) en extern dragkraftpotential som antingen kan representera något föreskrivet kraftprotokoll F ( t ) ≡ −∂ x V ( x , t ) eller en rörlig yttre fjäder, om V ( x , t ) ≡ κ [ x - y ( t )] 2/2. Den rumsligt integrerade distributionen

Image

är andelen bundna partiklar eller "överlevnadsfunktion" vid varje given tidpunkt t . En konstant överlevnadsfunktion S ( t ) = const motsvarar noll utsläppshändelser och därmed en försvinnande bindningsgrad k = 0. På samma sätt uppgår en positiv utrymningshastighet k > 0 till en exponentiellt sönderfallande överlevnadsfunktion S ( t ) = S (0) exp (- kt ). I det allmänna fallet kan S ( t ) varken vara konstant eller exponentiell, men en godtycklig komplex funktion av tiden. Det är emellertid alltid monotont förfallande och icke-negativt och definierar således en (potentiellt tidsberoende) generaliserad bindningsgrad k ( t ),

Image

I princip kan vi nu lösa ekvation (3a) (eller en ekvivalent integralformulering 31, 32 ) numeriskt 33 för att erhålla den tidsberoende sannolikhetsfördelningen W ( x , t ), beräkna överlevnadssannolikheten S ( t ) via ekvation (4) ) och mata resultatet i ekvation (5) för att exakt beräkna bindningsgraden k ( t ) för en känd uppsättning modellparametrar (

Image

, x b, D ). Denna procedur är dock för beräkningsintensiv för det omvända problemet att få

Image

, x b och D från experimentella data. För att komma fram till en analytisk tillnärmning till den bindningsgrad som snabbt utvärderas på en dator skriver vi ner en första tillnärmning till W genom att ignorera den absorberande gränsen,

Image

Image

Med den externa drivpotentialen V ( x , t ) i ekvation (3c), som högst är parabolisk, är W G strikt Gauss för all lokaliserad initialfördelning W G ( x , t = 0) = δ ( x - x 0 ) . Det utvärderas enkelt analytiskt,

Image

var

Image

följer av en rent deterministisk rörelseekvation,

Image

C ( t ) anger den positionella autokorrelationsfunktionen,

Image

och χ den relativa förändringen i systemets totala fjäderkonstant introducerad av den externa ställdon; det vill säga χ = 1 för yttre fält eller mjuka fjädrar

Image

,

Image

annat.

När vi går tillbaka till den tidsberoende utrymningsfrekvensekvationen (5) noterar vi att beräkningen av

Image

( t ) via ekvation (4) skulle vara onödigt komplicerat. Eftersom flyghändelser endast kan äga rum vid den absorberande gränsen xb, är utströmningen av bundna partiklar till det obundna tillståndet ekvivalent med sannolikhetsflödet j ( xb, t ) = -

Image

( t ) över x b . Det beror bara på lokala egenskaper för sannolikhetsfördelningen W , via kontinuitetsekvationen

Image

Att ersätta W med W G i ekvation (10) definierar motsvarande ungefärliga flöde jG , överlevnadsfunktion

Image

och utrymningshastighet kG ( t ) = j G ( x b, t ) / S G ( t ).

Observera att de gaussiska uttrycka blir asymptotiska exakta för dragkrafter som är större än den kritiska kraften som krävs för att planera ut energisperren, F >> F c = 2

Image

/ x b (motsvarar höga laddningshastigheter

Image

i ett experiment med konstant hastighet) på grund av en väsentligen ballistisk sönderfall av det bundna tillståndet. Intuitivt har sannolikhetstätheten WG inte tid att "känna" (och reagera på) närvaron av den absorberande gränsen innan den dras över xb av den deterministiska drivtermen A ( x , t ) W G ( x , t ). För flyktfrekvensen hittar vi således den exakta asymptotiska gränsen

Image

Situationen är lite mer komplicerad för långsam lastning, där deterministisk körning och stokastisk dynamik stör. Tänk först på det begränsande fallet av en fritt diffunderande partikel, det vill säga om bindningspotentialen, den yttre kraften och det absorberande gränsvillkoret försummas. Det finns ett rent diffusivt nettoflöde

Image

i läget xb, varav hälften slumpmässigt backsprutas (se fig. 1). Det tyder på att insättning av en perfekt absorbator vid x = xb skulle undertrycka ryggspridningen och därför fördubbla diffusionsflödet över xb . Att lägga till det deterministiska drivet tillbaka får vi

Image

( a ) Med tanke på en viss statistisk fördelning W ( x , t ) av partiklar kan dessa partiklar drivas över positionen xb, antingen ballistiskt av yttre krafter ( j drift ) eller diffusivt genom slumpmässigt termiskt brus ( j diff. ). ( b ) Att sätta in en absorbator vid xb eliminerar effektivt diffusivt bakspridning, vilket fördubblar det diffusiva bidraget till den resulterande sannolikhetsflödet j * till x b .

Bild i full storlek

Image

Image

Detta uttryck för flödet kan verkligen förstås som den första ordningens tillnärmning till en exakt teori, som diskuteras i avsnittet Metoder. Där visar vi också att j * ( x b, t ) ger ett asymptotiskt exakt uttryck för utrymningshastigheten vid låga belastningsgrader,

Image

Vi observerar nu att den ytterligare faktorn av två framför den diffusiva komponenten i j * jämfört med jG är irrelevant för gränsen för stora draghastigheter, som domineras av den deterministiska drivtermen A ( x b, t ) W G ( x b, t ), vilket antyder att ekvation (11) fortfarande gäller med j G ersatt av j *. Observera dessutom att för höga energibarriärer

Image

>> k B T och låga draghastigheter

Image

, den Gaussiska överlevnadssannolikheten S G ( t ) förblir nära 1 eftersom W G sträcker sig endast försumbart utöver x b för alla relevanta tider, dvs

Image

Våra två asymptotiska resultat kan därför kombineras till en enhetlig tillnärmning

Image

vilket är exakt både i gränserna för låg och hög belastningsgrad. Tillsammans med ekvation (1) ger detta spridningskraftsfördelningen

Image

Utvärdering av p ( F ) i dess allmänna form ekvation (16) kräver fortfarande en viss beräkningsinsats, eftersom det beror på ett potentiellt komplicerat sätt av experimentella detaljer såsom körprotokollet, den initiala fördelningen av partiklar inom det bundna tillståndet och styvheten hos kraftaktuator. För det vanliga fallet med en linjärt ökande dragkraft F =

Image

t (utövas av ett yttre fält eller en mjuk fjäder med styvhet)

Image

) får vi det slutna analytiska resultatet

Image

där k 0 är den tillhörande kraftfria Kramers-hastigheten för cusp-potentialen,

Image

och

Image

är den kraftberoende koordinaten för maximalt WG ( x , F ),

Image

Inom gränsen för små laddningshastigheter som vi får

Image

och ekvation (17) reducerar till uttrycket härledd av Dudko, Hummer & Szabo (DHS) i ref. 14 för v = 1/2 . I avsnittet Metoder tillhandahåller vi en sammanställning av analoga resultat för styva kraftomvandlare, godtyckliga drivprotokoll eller godtyckliga initialförhållanden W ( x , t = 0) (tabell 1), samt ett stängt uttryck för medelbrottkraften ‹ F >.

Full storlek bord

Vissa kommentarer om jämförelse av data och teori kan vara användbara här. Först bör du notera att en jämförelse av data och teori för distributionen p ( F ) i alla fall är väsentligt mer informativ än att bara passa ‹ F ›. Ändå beror varje analytisk tillnärmning till den verkliga sprickkraftfördelningen på minst tre olika parametrar (bindande energi

Image

, attraktionsintervall x b och diffusivitet D ). Direkta anpassningar av experimentellt erhållna histogram för brottkraft är därför benägna att fångas in i ett lokalt optimalt parametrar, vilket ofta saknar den bästa möjliga lösningen. Ett sätt att uppnå mer tillförlitliga resultat är att först samla flera datauppsättningar erhållna under olika belastningshastigheter och därefter utföra en "global" anpassning med en enda uppsättning parametrar. Konventionellt görs detta genom att antingen utföra en minst kvadratisk passning av flera histogram på en gång eller genom att anpassa medelbrottkraften som en funktion av belastningshastigheten 13, 14, 15, 19 . Båda tillvägagångssätten kan förbättras genom systematiskt användning av en metod för maximal sannolikhet 25 som istället för att optimera för ett godtyckligt mått på passningskvalitet (såsom kvadratrest), använder Bayesian-analys för att välja de modellparametrar som mest sannolikt ligger till grund för den givna bristkraften. histogram. Jämfört med konventionella anpassningsmetoder sträcker sig den maximala sannolikhetsstrategin rakt ut till heterogena datamängder som omfattar olika länkstivheter eller lastprotokoll. Dessutom har det visat sig betydligt mer robust med avseende på små ensembelstorlekar 25, en potentiellt avgörande fördel i analysen av verkliga experiment. I allmänhet, ju större användningsområdet för en given teori om kraftspektroskopi, desto bättre blir de resultat som erhålls med metoden med maximal sannolikhet. Detta faktum borde fungera till vår fördel, eftersom vår modell täcker ett mycket större utbud av laddningshastigheter än den dominerande Bell – Evans 'standardmodellen' 13 och dess senaste tillägg av DHS 14 och andra 16, 17, 18 . I resten och i den kompletterande anmärkningen 1 illustrerar vi datainpassningsförfarandet med några exempel och tillhandahåller några praktiska verktyg och protokoll för optimerad dataanalys.

Ansökan om simuleringsdata

Även om vår teori blir exakt i gränserna för höga och låga externa belastningsnivåer, är kvaliteten på vår tillnärmning till ändliga belastningsgrader i förväg oklar. För att bedöma den praktiska användbarheten av vår metod har vi alltså genererat syntetiska sprickkraftfördelningar med Brownian Dynamics-simuleringar av den underliggande mikroskopiska bindningsmodellen (se Metoder). Som fig. 2 exemplifierar är vår teori lika bra som metoden från Hummer & Szabo 19 för att fånga den genomsnittliga bristkraften ‹ F › som en funktion av belastningshastigheten. Medan Hummer – Szabo-modellen bygger på en atermal behandling av den underliggande mikroskopiska rörelseekvationen, redogör vi helt för värmefluktuationer. Dessa kan vara betydelsefulla även inom den "ballistiska" regimen

Image

som Fig. 3 och experimentdata från Rico et al. 20 show. Därför tillåter vår strategi oss att utföra en fullständig och systematisk Bayesian-analys (se Metoder och ref. 25) av histogram för bristkraft (i motsats till medelbrottskrafter) och därmed utnyttja de tillgängliga experimentella uppgifterna fullt ut. Som framgår av fig. 3 bryts vår tillnärmning fortfarande vid mellanliggande belastningshastigheter, eftersom vi i vår formalism faktiskt inte absorberar partiklar när de passerar den absorberande gränsen vid xb utan bara räknar dem. Efter att ha lämnat den potentiella brunnen bygger de upp en "fantompopulation" som senare kan ge en ofysisk återflöde till det bundna tillståndet. I princip skulle denna brist kunna åtgärdas, åtminstone för cusp-potentialen, genom att utöka den systematiska integrerade ekvationsmetoden som beskrivs i metoderna till högre ordningar. Ändå täcker tillämpningsområdet för ekvation (16) redan de allra flesta oförändrade händelser. Genom att helt enkelt avkorta p ( F ) efter dess första nollkorsning får vi ett analytiskt uttryck för sprickkraftfördelningen som fungerar bra vid alla belastningshastigheter, med undantag för ett smalt område nära ett kritiskt värde

Image

.

Image

Cirklar: ‹ F › som bestäms av våra numeriska simuleringar (se fig. 3). Kors: bästa DHS 15 passform (= 9, 49 × k B T , x b = 1, 01 nm, D = 574 nm 2 s −1 ). Trianglar: bästa Hummer – Szabo 19 fit (

Image

= 10, 2 × kB T , x b = 1, 0 nm, D = 1015, nm 2 s −1 ). Kvadrater: ‹ F › bestämd från p ( F ) (se Metodavsnitt), med hjälp av passningsparametrarna erhållna i fig. 3. Pentagoner: asymptotisk analytisk approximationsekvation (40) till ‹ F ›, med hjälp av passningsparametrarna erhållna i fig. 3 Inset visar samma data i dubbellogaritmiska koordinater. Medelbrottstyrkan konvergerar till Hummer – Szabo 19- asymptot

Image

1/2 vid stora laddningshastigheter,

Image

och på den logaritmiska DHS-asymptot ‹ F › ~ [ln

Image

] 1/2 (ref. 14) vid mellanliggande laddningshastigheter,

Image

(streckade röda linjer, skiftade uppåt för bättre synlighet). I gränsen

Image

→ 0, yttre krafter är för små för att inducera brott, vilket ger den uppmätta brottkraften kraften vid spontanbindning, ‹ F › ~

Image

/ k 0 . För vårt val av systemparametrar skulle den bästa för närvarande tillgängliga experimentella inställningen 20 redan kunna komma åt den ballistiska regimen där ‹ F › ökar med

Image

1/2 .

Bild i full storlek

Image

Med hjälp av en enda uppsättning modellparametrar ger vår teori (ekvation (17), heldragna linjer) en exakt global tillnärmning till både långsamma ( a ) och snabba ( c ) externa kraftprotokoll (jämfört med den intramolekylära avslappningstiden,

Image

i vårt fall) förutom ett smalt område ( b ) nära en kritisk belastningshastighet (

Image

c ≈10 5 pN s −1 för vårt val av parametrar). Histogram med "experimentell" bristkraft har genererats genom direkt stokastisk integration (se avsnittet Metoder) med användning av

Image

= 10 × k B T , T = 300 K, x b = 1 nm, D = 1 000 nm 2 s −1 och

Image

= 1

.

10 11 pN s −1 . Våra bästa anpassade parametrar erhållna med ekvation (17) är = 10, 15 × k B T , x b = 0, 98 nm, D = 976 nm 2 s −1 . Eftersom den genomsnittliga bristkraften varierar med storleksordningar vid stora belastningsgrader, använder vi dubbel-logaritmisk skalning för

Image

> 10 7 pN s −1 ( c ).

Bild i full storlek

Även om vi finner härledningen av en analytisk, global tillnärmning till spridningskraftsfördelningen p ( F ) tillfredsställande i sig, ligger dess praktiska användbarhet först och främst i den exakta och effektiva analysen av experimentella bindande data. För att uppskatta hur väl vår modell stablar upp mot de rådande metoderna för dataanalys har vi således analyserat numeriskt erhållna histogram för brottkraft, se kompletterande figur 1. Vi betraktade både den cusp-formade potentialen och en linjär-kubisk bindningspotential (kompletterande figurer) 2 och 3), med användning av lokal och global (maximal sannolikhet) passar både ekvation (16) och spridningskraftsfördelningar härledda av DHS 14 och Maitra & Arya 17 (samt en "cusp-optimerad" motsvarighet till deras resultat, detaljerad i kompletterande anmärkning 2) för mjuka respektive styva länkare. Vidare emulerade vi konventionella experimentella förfaranden genom att anpassa medelbrottkraften F genom att använda både de analytiska uttryck som härrörts från Friddle 15, associerade med DHS-modellen 14, och Maitra & Arya 17, såväl som den numeriska interpolationsformeln härledd av Hummer & Szabo 19 . I den kompletterande anmärkningen 1 kommer den intresserade läsaren att hitta en omfattande diskussion av alla dessa tillvägagångssätt, vars huvudsakliga är följande. Vid höga laddningshastigheter visar det sig förvånande att vår teori är överlägsen de befintliga sannolikhetsteorierna 13, 14, 16, 17 . Ännu viktigare är emellertid att kombinationen av analysen med maximal sannolikhet och vår globalt giltiga tillnärmning är tillräckligt kraftfull för att tävla med de bästa konventionella modellerna även för en linjär-kubisk bindningspotential medan vi varken kräver förkunskaper om den potentiella formen eller ytterligare passningsparametrar. Den enda andra globala modellen hittills, den numeriska interpolationsformeln som erhållits av Hummer & Szabo, ger lika goda resultat som vår egen metod om den levereras med tillräckligt med data, även om de ökade beräkningskostnaderna för numerisk integration leder till längre monteringstider. Använda ett mindre antal laddningshastigheter (det vill säga 3–6 decennier i

Image

istället för 12) kan det högre informationsinnehållet i vår fullhistogrambeskrivning ge betydligt bättre resultat. Eftersom vårt tillvägagångssätt ärver den större generaliteten och robustheten i den Bayesiska analysen med maximal sannolikhet, kommer detta gap att utvidgas med små ensemblestorlekar eller heterogena datamängder. Eftersom metoden för maximal sannolikhet är något svårare att implementera i praktiken än traditionella metoder, skrev vi (och tillhandahåller gratis användning) en färdig Mathematica-anteckningsbok som täcker några av de vanligaste inställningarna för kraftspektroskopi, se kompletterande data 1.

Diskussion

Vår teori tillhandahåller en analyserbar generisk modell av dynamisk kraftspektroskopi som reproducerar tidigare kända, exakta resultat 14, 17 vid låga belastningshastigheter och förbättrar resultaten från Hummer & Szabo för höga belastningshastigheter 19 genom att inkludera stokastiska fluktuationer. Det ger utmärkta resultat också vid mellanliggande laddningshastigheter och utgör därmed en idealisk följeslagare till Bayesiska metoder för dataanalys. Bortsett från att fungera som en systematisk och bekväm ersättning för aktuella teorier om kraftspektroskopi, kan vårt tillvägagångssätt visa sig avgörande för analysen av framtida snabbspektroskopi-inställningar för höghastighet och MD-simuleringar i full skala. Slutligen noterar vi att vid tillräckligt låga belastningshastigheter kan effekten av en polymert kraftomvandlare på de resulterande sprickkraftfördelningarna ungefärligas genom att välja F ( t ) och

Image

( t ) följaktligen 28, 29 . Vid högre belastningshastigheter kan dynamiken för kraftutbredning inom polymeren 21, 34, 35 bli relevant, vilket kan vara ett intressant ämne för framtida teoretisk utveckling baserad på vår teori.

metoder

Alternativ derivat av ekvation (12b)

Den (icke-gaussiska) sannolikhetsfördelningsfunktionen W ( x , t ) är, i närvaro av en absorberande gräns vid x = xb, i allmänhet inte analytiskt spårbar. Det är emellertid relaterat till dess Gaussiska motsvarighet W G ( x , t ) på ett enkelt sätt 32, 33,

Image

Image

där j ( x , t ) är det tillhörande sannolikhetsflödet, vilket uppfyller kontinuitetsekvationen

Image

med gränsvillkoren W ( x , t ) | x → −∞ = W ( x b, t ) = 0. Gaussfördelningen WG ( x , t ) och flödet j G ( x , t ) uppfyller också kontinuitetsekvationen (21a) för W G ( x , t ) | x → ± ∞ = 0. Alternativt 36 kan det absorberande gränstillståndet i ekvation (20b) tolkas som ett sjunkande term σ ( x , t ) <0 ∀ t , vilket resulterar i den modifierade ekvationen

Image

där W ( x , t ) | x → ± ∞ = 0. Med hjälp av det faktum att flödet försvinner i oändligheten, j ( x → −), t ) = 0, integrerar vi ekvation (21a) för att få

Image

eller motsvarande,

Image

( t ) = - j ( x b, t ).

Att ta tidsderivatet för ekvation (20a) ger

Image

som kan jämföras med ekvation (21a), vilket leder till

Image

Att sätta in detta uttryck i ekvation (21b) och sedan integrera över intervallet (−∞, x b ] resulterar i

Image

Vi vill nu bestämma diskbörden, σ ( x , t ). Vi ska därför göra ansatz

Image

vilket, genom att införa det effektiva flödet ψ ( x b, t ) = j G ( x b, t ) + g ( t ) W G ( x , t ), reducerar ekvationen (25) till

Image

Ekvation (27) härleddes ursprungligen av Buonocore et al. i ref. 37, där det noterades att funktionen g ( t ) kan bestämmas unikt med användning av

Image

ett kriterium som följer av det faktum att för alla t ,

Image

Lösning av ekvation (28), vi får g ( t ) = - A ( x b, t ) / 2 (ref. 38) 38 och därmed

Image

Formellt kan ekvation (27) lösas iterativt,

Image

där 0 < τ n < τ n −1 <⋯ < τ 1 < t och j ( x b, τ n ) försvinner när n → ∞. Avkortning av ovanstående resultat efter den första termen ger en första ordnings approximation j 0 ( x b, t ) till flödet som sammanfaller med ekvationen (12b),

Image

Asymptotisk exakthet vid låga laddningshastigheter

Vår utrymningshastighet k ( F ) och spridningskraftsfördelning p ( F ) reducerar båda till resultaten av DHS (ekvationerna 3 och 4 i ref. 14 för v = 1/2 ), i gränsen

Image

→ 0. Flödet j * ( xb, F ) i ekvation (12b) är en summa av det gaussiska flödet

Image

och diffusionsflödet

Image

. På grund av deras asymptotiska beteende,

Image

Image

med Fc = 2 / xb och F ( t ) definierade enligt ekvation (53) för varje gräns, dominerar diffusionsflödet över Gaussflödet vid låga belastningshastigheter. Med hjälp av de uttryck som finns i tabell 1 kan vi bestämma flyktfrekvensen under antagandet att S ( F ) ≈1 för

Image

→ 0,

Image

där k 0 betecknar Kramers-hastigheten (ekvation 18). För χ = 1 (det vill säga ett yttre fält eller en mjuk fjäder,

Image

) hastigheten ovan sammanfaller med ekvation 3 i ref. 14 för v = 1/2 . För en extern vår har vi

Image

och erhålla ekvation (3-S) i den kompletterande anmärkningen 2. Likaså för

Image

det kan visas att p ( F ) reduceras till ekvation 4 i ref. 14 för v = 1/2 i fallet med ett yttre fält ( F ( t ) =

Image

t ) och till ekvation (4-S) för fjädrar ( y ( t ) =

Image

t ).

Genomsnittlig brottkraft

För att beräkna medelbrottkraften ‹ F › som visas i fig 2 har vi eliminerat de falska nollkorsningarna av p ( F ) vid mellanbelastningshastigheter

Image

genom att sätta

Image

och beräknade från p * ( F ) medelbrottkraften via

Image

Alternativt kan vi (för konstant

Image

och μ = 1) ger en grov analytisk uppskattning som är exakt i gränserna för respektive små och stora belastningshastigheter,

Image

För stora belastningsgrader utvärderar medelbrottkraften till

Image

där I n ( z ) är den modifierade Bessel-funktionen av den första typen. Detta resultat sammanfaller med den deterministiska medelbrottkraften som ursprungligen härleddes i ref. 19.

För små laddningshastigheter F ≪ F c, når vi ett resultat som tidigare erhållits från Bell – Evans-modellen av Gergely et al. 39,

Image

Här är q = exp ( β

Image

[1 χ ]), X = χ 1/2 k 0 / β

Image

x b och El ( z ) betecknar den exponentiella integralen,

Image

Att sätta in ekvation (38a) och (38b) i ekvation (37), så slutar vi således med

Image

Det bör noteras att vi tillhandahåller ‹ F › endast för fullständighetens skull. I själva verket är det slöseri med att kasta experimentellt uppmätta kraftfluktuationer istället för att direkt anpassa hela histogrammen p ( F ) och vi rekommenderar alltså att använda ekvationen (40) (lika mycket som alla andra tillgängliga förutsägelser för ‹ F ›) för analys experimentella data.

simuleringar

För att generera histogram med brottkraft över ett stort antal externa belastningshastigheter har vi använt ett stokastiskt Euler-schema för att direkt integrera motsvarande Langevin-ekvation för Fokker – Planck-ekvationen (3a),

Image

där ξ ( t ) betecknar Gauss, vitt brus,

Image

och y bindningsfriktionskoefficienten, y = kB T / D. Extern kraft appliceras antingen genom ett externt fält V ( x , t ) = - x

Image

t (motsvarande en deterministisk kraft) eller genom en rörlig yttre fjäder centrerad vid y ( t ) =

Image

t . Initiala partikelpositioner hämtas från en Boltzmann-distribution; när partikelpositionen x ( t ) passerar xb, betraktar vi bindningen bruten och registrerar motsvarande brottkraft. Även om man kan hävda att förkunskaper om barriärpositionen xb tillät oss en orealistisk fördel jämfört med faktiska experiment, noterar vi att även utöver den kritiska dragkraften visar sig starka variationer i den intramolekylära bindningspotentialen U runt xb i experimentellt detekterbara kraftsignaturer, se kompletterande anmärkning 3 och den bifogade tilläggsfiguren Fig. 4.

Metod för maximal sannolikhet

Efter ref. 25, sannolikheten P för en given uppsättning parametrar

Image

, x b, D beräknas enligt följande,

Image

där { F } anger totaliteten av sprickkrafter som beaktas och

Image

spridningskraftsfördelningen p som ges av ekvation (16), utvärderad vid de uppmätta sprickkrafterna F = Fj , med modellparametrar (

Image

, x b, D ) och

Image

=

Image

i . Den högra sidans logaritm maximeras sedan med hjälp av 'NMaximize' -metoden som tillhandahålls av Wolfram Mathematica. Eftersom metoden för maximal sannolikhet är något mer involverad än konventionella anpassningsförfaranden, tillhandahåller vi en färdig Mathematica-anteckningsbok som gör det möjligt för användaren att analysera sina data genom ett enkelt grafiskt gränssnitt (kompletterande data 1).

Icke-konstanta lastningshastigheter och godtyckliga initiala villkor

I härledningen av ekvation (17) har vi börjat från ett lokaliserat initialt tillstånd W ( x , t = 0) = δ ( x - x 0 ), beräknat motsvarande fördelning av första passeringstider och i slutändan medelvärde över alla möjliga startpunkter x 0 < x b med hjälp av en jämvikt Boltzmann-fördelning. Detta val av initialt tillstånd borde vara lämpligt för de flesta verkliga scenarier, men eftersom vår teori lätt sträcker sig till initiala förhållanden i icke-kondition (motsvarar till exempel en partikel som är fixerad av en hjälpfångstpotential som är avstängd vid t = 0) Tabell 1 ger en generisk spridningskraftsfördelning för godtyckliga val av W ( x , t = 0) ≡ W 0 ( x ). Det är viktigt att för en termiskt stabil, smidigt varierande bindningspotential U är initialfördelningen i allmänhet gaussisk runt energiminimet vid x = 0,

Image

men dess bredd kan avvika från värdet som erhållits från vår cusp-formade modellpotential. För att bättre redogöra för andra typer av bindningspotentialer (till exempel den ofta använda linjär-kubikpotentialen), kan vi därmed behandla

Image

som en extra fit-parameter, i analogi med parametern ν som används av Dudko, Hummer & Szabo 14 (även om i motsats till ν , är vår fit-parameter μ endast relevant vid höga laddningshastigheter

Image

eftersom vid låga belastningshastigheter försvinner minnet av det initiala tillståndet långt innan bristning inträffar).

I tabell 1 tillhandahåller vi också ett generiskt uttryck för godtyckliga kraftprotokoll F ( t ) som inte nödvändigtvis skalas linjärt i tid.

Stela kraftgivare

För styva givare, det vill säga yttre fjäderkonstanter

Image

, förhållandet mellan bristningstid och brottkraft beror till viss del av den experimentella tidsupplösningen. I stället för en deterministisk tidsberoende dragkraft F ( t ), mäter man sedan en kraft i givaren som fluktuerar med bondkoordinaten x ( t ). Dessa snabba fluktuationer utjämnas typiskt med användning av ett tidsrörande medelvärde, som i ett konventionellt låghastighetsexperiment motsvarar ett jämviktsmedelvärde med avseende på den tidsberoende kombinerade potentialen U ( x ) + V ( x , t ) (molekylär bindning + givare), vilket ger sig som den uppmätta bristkraften

Image

Så länge den effektiva fria energibarriären fortfarande är stor jämfört med k B T (vilket säkert kan antas inom gränsen för låga belastningsnivåer

Image

), är den faktiska fördelningen av bundna partiklar väsentligen en Gauss som är centrerad inom det bundna tillståndet. Följaktligen kan anharmoniken hos molekylär bindningspotential utöver xb försummas och jämviktspositionen < x ›av bundna partiklar följer av ett enkelt kraftbalansargument 17 (se fig. 4a),

Image

( a ) Så länge bindningen förblir intakt kan det kombinerade bond-givarsystemet ses som två harmoniska fjädrar kopplade i serie. Vid låga draghastigheter kan positionella fluktuationer inom det bundna tillståndet översätta till kraftfluktuationer som kan utjämnas via ett tidsrörande medelvärde (se inlägg). ( b ) Så länge den effektiva fria energibarriären fortfarande är stor jämfört med kBT , kommer sannolikhetsfördelningen W ( x , t ) nära att närma sig en Gauss som är centrerad inom det bundna tillståndet och ‹ x › långsamt ( t ) sammanfaller praktiskt taget med ‹ x › G ( t ). ( c ) Vid höga dragkrafter misslyckas det statiska kraftbalansargumentet a, eftersom det ger ett jämviktsposition ‹ x › långsamt ( t ) utöver x b . Den förbättrade tillnärmningen ‹ x › G ( t ) är istället alltid avgränsad av x b .

Bild i full storlek

Image

Image

var

Image

för cusppotentialen. Miljö

Image

, detta förenklar till

Image

Stora yttre krafter kan å andra sidan skifta ‹ x › långsamt ( t ) bortom x b, vilket gör att det statiska kraftbalansargumentet uppenbarligen är otillräckligt. Vi erhåller en rimlig generalisering av ekvationen (48b) genom att istället avkorta den tidsberoende ungefärliga sannolikhetsfördelningen W G ( x , t | x 0 ) vid x = x b och använda den för att beräkna ‹ x › ( t ),

Image

med medelvärde

Image

, varians

Image

och autokorrelationsfunktionen C ( t ) definierad som vanligt (notera att partikelpositionen x 0 vid t = 0 är irrelevant i lågkraftsgränsen och elimineras i högkraftsgränsen genom medelvärde över den initiala fördelningen av partikelpositioner W ( x 0, t = 0)),

Image

Image

Image

I gränsen för låga dragkrafter minskar ekvation (50) till den fastställda resultatekvationen (48b),

Image

. I högkraftsgränsen är emellertid inte längre ett jämviktsmedelvärde berättigat, eftersom en kraftspektroskopiuppsättning med tillräcklig tidsupplösning i stället bör mäta givarkraften precis vid bristningsögonblicket,

Image

Denna ekvation sammanfaller med den operativa definitionen av "brottkraft" som används av Hummer & Szabo 19 . Eftersom i gränsen för höga belastningsgrader är xb i allmänhet försumbar jämfört med givarpositionen y ( t ) vid tidpunkten för brott och eftersom ‹ x › G ( t ) är bunden ovan av x b, kan vi använda κ [ y ( t ) - ‹ x › G ( t )] som en global tillnärmning till brottkraften; nackdelen med detta tillvägagångssätt är att F ( t ) blir svårt att lösa för t . Vid mellanliggande draghastigheter kan det vara rimligt att utföra den funktionella inversionen numeriskt; i praktiken föreslår vi dock att man helt enkelt ersätter F ( t ) med dess respektive asymptotiska gränser,

Image

Kompletterande information

PDF-filer

  1. 1.

    Kompletterande figurer och anmärkningar

    Kompletterande figurer 1-4 och kompletterande anmärkningar 1-3

Zip-filer

  1. 1.

    Kompletterande data 1

    Mathematica Notebook för dataanalys och användarhandbok som åtföljer Mathematica Notebook

kommentarer

Genom att skicka en kommentar samtycker du till att följa våra villkor och gemenskapsriktlinjer. Om du finner något missbruk eller som inte överensstämmer med våra villkor eller riktlinjer ska du markera det som olämpligt.