Känslighet för externa signaler och synkroniseringsegenskaper hos en icke-isokron auto-oscillator med försenad feedback | vetenskapliga rapporter

Känslighet för externa signaler och synkroniseringsegenskaper hos en icke-isokron auto-oscillator med försenad feedback | vetenskapliga rapporter

Anonim

ämnen

  • Tillämpad fysik
  • Elektroniska och spintroniska enheter
  • Fotoniska enheter
  • Statistisk fysik

Abstrakt

För auto-oscillatorer av olika natur (t.ex. aktiva celler i ett mänskligt hjärta under verkan av en pacemaker, nervceller i hjärnan, spinnmoment-nano-oscillatorer, mikro- och nanomekaniska oscillatorer eller generering av Josephson-korsningar) är en kritiskt viktig egenskap deras förmåga att synkronisera med varandra. Synkroniseringsegenskaperna hos en autooscillator är direkt relaterade till dess känslighet för externa signaler. Här demonstrerar vi att en icke-isokron (med genereringsfrekvens beroende på amplituden) auto-oscillator med fördröjd återkoppling kan ha en extremt hög känslighet för externa signaler och ovanligt stor bredd på faslåsningsbandet nära gränsen för den stabila auto- svängningsregim. Den här egenskapen kan användas för utveckling av synkroniserade uppsättningar av icke-isokrona auto-oscillatorer inom fysik och teknik, och till exempel kan ge en bättre grundläggande förståelse för sätt att kontrollera en hjärtrymia inom medicin.

Introduktion

Systemen med auto-oscilleringsegenskaper är vanliga inom vetenskap och natur med utgångspunkt från en enkel pendelklocka och slutar med komplexa nervsystem hos djur och människor. I allmänhet består varje auto-oscillator av ett aktivt element (energikälla) och ett passivt oscillerande system, som omvandlar energin som erhålls från det aktiva elementet till svängningsenergin och bestämmer svängningsfrekvensen. I elektronik används auto-oscillatorer för generering av periodiska signaler och i digitala system som klockor som synkroniserar systemdriften. På liknande sätt spelar mekaniska oscillatorer, såsom kvartsoscillatorer, en dominerande roll i dagens tidsbevarande enheter 1 . Auto-oscillerande system är också välkända inom biologi 2, kemi 3 och till och med ekonomi 4 .

I applikationer är en av de viktigaste egenskaperna hos en auto-oscillator dess generationslinjebredd som bestäms av auto-oscillatorinteraktionen med brus 1 . Å andra sidan är en lika viktig egenskap hos en auto-oscillator dess förmåga att synkronisera med andra auto-oscillatorer. Den här egenskapen är viktig för att förstå beteendet hos kopplade ensemblar av auto-oscillatorer. I en vidare bemärkelse är synkronisering en egenskap hos en enhet av auto-oscillatorer som gör att den kan bete sig som en enda enhet 5 . I synnerhet är synkroniseringsegenskaper mycket viktiga i biologiska system, där varje cell i en vävnad fungerar som en enda auto-oscillator, medan populationen av dessa celler (t.ex. hela organismen, eller till och med en grupp organismer) fungerar som en enda auto -oscillerande system som består av en rad kopplade och synkroniserade auto-oscillatorer. Det finns också många exempel på auto-oscillatoruppsättningar inom fysik och mikrovågselektronik (se t.ex. generering av Josephson-korsningar 6 eller spinnmoment-nano-oscillatorer (STNO) 7, 8, 9, 10 ) för vilka synkroniseringsegenskaper är oerhört viktiga, eftersom enskilda auto-oscillatorer har en relativt låg uteffekt och handlingen av en synkroniserad grupp är nödvändig för praktiska tillämpningar av dessa enheter.

Det bör noteras att genereringslinjebredden för en auto-oscillator, liksom dess faslåsande bandbredd till en extern periodisk signal och dess synkroniseringsbandbredd med andra auto-oscillatorer, bestäms av samma egenskap hos ett auto-oscillerande system - dess känslighet för en extern signal, vare sig det är ett externt brus eller en periodisk körsignal som genereras av en extern förare eller av andra auto-oscillatorer i ensemblen.

För att bestämma denna känslighet behöver vi till en början kvalitativt förstå hur en typisk auto-oscillator reagerar på amplituden och fasfluktuationerna. I en automatisk oscillation med ett stabilt tillstånd kompenseras ett flöde av energi från ett aktivt element, som alstrar en icke-linjär negativ dämpning, genom absorptionen av detta flöde med ett dissipativt element, vilket ger en positiv dämpning, som i allmänhet också kan vara olinjär 7 . Således definierar tillståndet för en noll total dämpning eller med andra ord villkoret för en dynamisk jämvikt mellan energin som tas från ett aktivt element och absorberas av ett dissipativt element i en auto-oscillator, den stabila gränscykeln för en auto- svängning. I en sådan situation kan fluktuationerna i auto-oscillationsamplituden (eller av den effektiva radien för gränscykeln) som införts i systemet förskjuta systembanan från gränscykeln, men ovannämnda dynamiska jämviktsvillkor kommer att returnera systemet tillbaka till gränscykeln efter en begränsad tid. Situationen är drastiskt annorlunda med fasfluktuationerna (eller skiftar längs gränsvärden). Eftersom systemet inte har någon mekanism för att återgå till den initiala fasen, utför fasfluktuationerna en slumpmässig gång och ackumuleras över tiden. Således är de auto-oscillerande systemen särskilt känsliga för fasfluktuationerna och den experimentellt observerade genereringslinjebredden för en typisk auto-oscillator bestäms till största delen av fasfluktuationerna 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 Analogt sett, när den externa signalen är periodisk (t.ex. när den skapas av en extern drivrutin eller av en annan auto-oscillator) bestämmer faskänsligheten mestadels faslåsande bandbredd för en auto-oscillator - den maximala avvikelsen för en extern frekvens drivsignal från genereringsfrekvensen för auto-oscillatorn vid vilken auto-oscillationsfasen fortfarande följer fasen för den externa signalen 5, 18, 19, 20, 21 .

Som det förklarades ovan bestäms den stabila gränscykeln och därför stabilitetsamplituden i ett auto-oscillerande system av den icke-linjära effekten av dess negativa och positiva dämpning. Samtidigt bestäms den jämviktiga auto-svängningsfrekvensen av det passiva oscillerande systemet, vilket också kan vara olinjärt, vilket resulterar i den icke-isokrona egenskapen hos auto-oscillatorn - beroende av auto-oscillationsfrekvensen av auto-oscillationen amplitud. I många fall kan processen för energiöverföring från ett aktivt element till ett passivt oscillerande system i många fall ta mycket mer tid än en svängningsperiod. I en sådan situation, typisk för systemen med rumsligt fördelade parametrar, kan dynamiken hos ett auto-oscillerande system starkt påverkas av den tidsfördröjning som finns i det.

Det visar sig att många av de praktiskt intressanta auto-oscillerande systemen båda är icke-isokrona och har en försenad feedback . Ett sådant exempel är en optoelektronisk oscillator baserad på en förlustlinje 1 med låg förlust. Ett annat exempel på ett sådant auto-oscillerande system är ett hjärta hos ett däggdjur. I en blodström från ett däggdjur spelar arteriellt tryck en signal för en signal, medan arteriella baroreceptorer, kärlsjukdomar och centrala nervsystemet behandlar denna signal i feedback-linjerna med betydande förseningar 22 . Dessutom förändras hjärtslagets frekvens med hjärtslagsamplituden, så detta auto-oscillerande system är också icke-isokront.

Ett begrepp om en icke-isokron auto-oscillator med fördröjning används också allmänt för att beskriva aktiviteten hos neuroner i djurens hjärna. I nervcellerna inuti hjärnan orsakas de stora tidsförseningarna i feedbacken av signalbehandlingen i hela nervnätverket 2, 23, 24 .

Inom biologi är ett av de mest exakta exemplen på ett icke-isokront auto-oscillerande system med försenad återkoppling rörelse av fisk och reptiler 25, 26 . Generatorn i det centrala nervsystemet (CNS) hos en fisk producerar periodiska svängningar som rör sig genom ryggmärgen till muskler och liknar vågor som sprider sig i en transmissionslinje. Specifika receptorer fångar dessa vågor och skickar en återkopplingssignal till CNS.

I alla ovan presenterade exempel är det mycket viktigt att förstå det detaljerade beteendet för känsligheten hos ett icke-isokront auto-oscillerande system med fördröjning till en extern signal, eftersom de onormala värdena för denna känslighet kan orsaka allvarliga oegentligheter i systemfunktionen, som i biologiska system manifesterar sig som sjukdomar. Till exempel orsakar den onormala ökningen av faskänsligheten hos ett mänskligt hjärta arrymmi, medan dess onormala minskning leder till allvarliga medicinska tillstånd efter hjärttransplantationen.

Inom ramen för en allmän teori om dynamiska system beskrivs en auto-oscillator som drivs av en extern kraft av ekvationen:

där x ( t ) är den vektor som beskriver tillståndet för en auto-oscillator definierar funktionen f [ x ( t )] alla interna egenskaper hos en auto-oscillator, och ξ ( t ) är en svag extern drivsignal. Denna ekvation kan reduceras till den så kallade fasmodellen:

där ϕ ( t ) respektive ω 0 är auto-oscilleringsfasen och frekvensen, medan X [ ϕ ( t )] är den så kallade känslighetsfunktionen eller fasresponsfunktionen, som beskriver reaktionen på auto-oscillatorns fas på den externa störningen 27, 28 .

Tyvärr kan detta eleganta schema inte användas direkt för att beskriva auto-oscillatorer med försenad feedback. Faktum är att även i ett enklaste fall av en oscillator med försenad feedback funktionen f i ekv. (1) blir beroende av den fördröjda oscillatorns tillstånd x ( t - T ) ( T är fördröjningstiden), f = f [ x ( t ), x ( t - T )]. Således kan ekvationen för en oscillator med fördröjning skrivas i form av ekv. (1) endast genom att införa en oändlig-dimensionell tillståndsvektor

och en extern kraft

. Respektivt blir vektorkänslighetsfunktionen X ( ϕ ) också oändligt dimensionell, vilket gör fasmodellen Eq. (2) olämplig för praktiska beräkningar.

Denna svårighet är det främsta skälet till att, trots ett antal intressanta resultat erhållna i teorin om kopplade oscillatorer med försening i inter-oscillatorkopplingen 29, 30, 31, 32, i majoriteten av befintliga teoretiska artiklar som beskriver dynamiken i auto- oscillerande system (se t.ex. 11, 12, 13 ) tidsfördröjningen i återkopplingsslingan för en auto-oscillator i sig ignoreras antingen eller betraktas som en liten korrigering 31 .

I vårt aktuella papper hittade vi en auto-oscillatormodell som tillåter en att formellt ta hänsyn till tidsfördröjningen i en auto-oscillator feedback-loop. Inom ramen för denna modell består en auto-oscillator av två delar: en linjär resonansdel, som definierar den auto-oscillerande frekvensen och innehåller linjära element som ger fördröjning i feedback, och en olinjär del som innehåller ett aktivt element som ger negativ dämpning och är ansvarar för auto-oscillatorns icke-isokrona egenskaper. Med hjälp av denna modell är det möjligt att analytiskt beräkna känsligheten X [ ϕ ( t )] till en extern signal från en icke-isokron auto-oscillator med försenad återkoppling och att utvärdera alla icke-autonoma egenskaper hos en sådan auto-oscillator bestämd av denna känslighet. Även om vår modell är mindre allmän än modellen (1), beskriver den ändå de flesta av icke-isokrona auto-oscillatorer med försenad feedback som är praktiskt viktiga inom fysik, biologi och elektronik.

Resultat

En modell av en icke-isokron auto-oscillator med försenad feedback

Det icke-autonoma beteendet hos ett brett spektrum av auto-oscillatorer kan beskrivas med en enkel modell av en stängd auto-oscillerande slinga (se fig. 1) som består av en olinjär förstärkare (aktivt element), ett linjärt resonans oscillerande system ( vilket kan innehålla ett element som orsakar signalfördröjningen, t.ex. en fördröjningslinje), och en källa till en relativt svag (jämfört med auto-oscillationsamplituden) extern signal, som kan vara antingen stokastisk (brus) eller / och periodisk (körsignal) ).

Bild i full storlek

Det olinjära aktiva elementet, beskrivet av funktionen G ( p ), där p är svängningseffekten, tillhandahåller energiflödet in i systemet, medan det passiva linjära oscillerande systemet, beskrivet av den linjära operatören L ( id / dt ), bestämmer auto-svängningsfrekvens och ger positiv dämpning eller energifällning. I detta tillvägagångssätt antas det aktiva elementet ha en oändlig frekvensbandbredd, så utsignalen från det aktiva elementet beror bara på det momentana värdet på insignalen. Motsvarande operatörsekvation skriven i tidsdomänen och beskriver ett sådant system har formen:

där funktionen c ( t ) beskriver den komplexa amplituden för auto-oscillationen vid ingången till det icke-linjära aktiva elementet, p = | c ( t ) | 2 är signaleffekten och funktionen ξ ( t ) beskriver en svag extern drivsignal som verkar på den auto-oscillerande slingan. Observera att dimensionen för den externa signalen ξ ( t ) skiljer sig från dimensionen c ( t ) med dimensionen för den linjära operatören L.

I frekvensdomänen kan operatören L ( id / dt ) beskrivas med en överföringsfunktion L ( ω ) som definieras som en Fourier-transformation av impulsresponsfunktionen hos det oscillerande systemet och kan mätas direkt experimentellt.

Vi betonar att i modellekvationen (3) är operatören L ( id / dt ) som beskriver det oscillerande systemet med fördröjning linjärt , så att de icke-isokrona egenskaperna hos auto-oscillatorn (dvs beroendet av oscilleringsfrekvensen ω på oscilleringseffekten p ), såväl som de icke-linjära egenskaperna hos det aktiva elementet som begränsar auto-oscilleringsamplituden och definierar gränscykeln, beskrivs av den icke-linjära förstärkarförstärkningen G ( p ).

Modellen (3) beskriver, antingen direkt eller efter en ändring av variabler, en stor mängd naturliga och konstgjorda auto-oscillerande system. Några speciella exempel kommer att ges nedan (se avsnitt "Exempel").

I frånvaro av externa störningar ( ξ ( t ) = 0) antar vi att de stationära auto-svängningarna vid en begränsningscykel hos auto-oscillatorn Fig. 1 är harmoniska, och den stationära lösningen för funktionen c ( t ) har form:

där ϕ ( t ) = ω s t + ϕ 0, p s och ωs är den stationära frikörande auto-oscillationseffekten respektive frekvens, och ϕ 0 är en godtycklig initial fas av auto-oscillationen. Parametrarna ps och ωs för den stationära auto-oscillationen bestäms av följande amplitud- och fasförhållanden, som direkt följer av ekvation (3):

där n = 1, 2, 3,

.

är ett heltal.

I ett generellt fall definierar villkoren (5) för stationära auto-oscillationer många olika auto-oscillationslägen som återspeglar multiläge-naturen hos auto-oscillatorslingan Fig. 1 (se modspektrumet som visas i fig. 2). Vilket av de möjliga auto-oscillationslägena som faktiskt kommer att genereras i auto-oscillatorn bestäms av de relativa stabilitetsegenskaperna för de stationära lösningarna i ekvation (5), som kan analyseras med hjälp av den centrala ekvationen för vår modell (3).

Generationslinjen visas genom att fylla under kurvan.

Bild i full storlek

Känslighet hos en auto-oscillator för externa störningar

I närvaro av en svag extern signal ξ ( t ) kommer både frekvensen och kraften hos auto-oscillationen att uppleva små förskjutningar från deras stationära värden, och de icke-autonoma egenskaperna hos den störda auto-oscillatorn beror på beteendet av funktionerna L ( ω ) och G ( p ) i närheten av begränsningscykeln, vilket motsvarar det stabila auto-oscillationsläget ( p s , ωs ). Parametrarna som bestämmer den icke-autonoma dynamiken hos auto-oscillatorn kan erhållas genom att utvidga funktionerna L ( ω ) och G ( p ) i en Taylor-serie nära gränscykeln ( ps , ωs ):

Båda parametrarna T och ß är i allmänhet komplexa mängder som har en enkel fysisk betydelse. Den verkliga delen av T (Re ( T )) fungerar som en effektiv fördröjningstid i återkopplingsslingan. Den imaginära delen av T (Im ( T )) kännetecknar lutningen för överföringsfunktionen L ( ω ) vid frekvensen ωs för den stationära auto-oscillationen (se fig. 2). Den verkliga delen av β (Re ( β ) = β r ) - icke-linearitet i förstärkaren , kännetecknar beroendet av förstärkningen av det aktiva elementet på svängningseffekten. I de flesta fall är Pr positiv ( Pr > 0) vilket innebär att förstärkningsförstärkningen minskar med effekten och denna effekt begränsar auto-oscilleringsamplituden. Den imaginära delen av ß (Im ( ß ) = ß i ) - olinjär frekvensförskjutning , bestämmer beroendet av auto-oscillationsfrekvensen av effekt och beskriver därför de icke-isokrona egenskaperna hos auto-oscillatorn.

Under påverkan av en extern tidsberoende signal blir fasen ϕ 0 i ekvation (4) en funktion av tiden. Antagande att den externa signalen ξ ( t ) är svag och därför endast kan sakta ändra fasen och något variera amplituden på auto-oscillationen, härledde vi följande ungefärliga ekvation som beskriver fasdynamiken i auto-oscillationen i tid:

var

kan definieras som faskänslighet för en icke-isokron auto-oscillator för en godtycklig extern signal ξ ( t ). Ett sådant resultat för fasmodellen för ekvation (2) förväntades naturligtvis på grund av den enkla formen av ekvation (4), vilket betyder den cirkulära formen för gränsvärden på fasplanet.

Inom ramen för den ungefärliga fasekvationen (7) finner alla de icke-autonoma egenskaperna hos en auto-oscillator, såsom genereringslinjebredden, faslåsande bandbredden till den externa periodiska signalen eller synkroniseringsfrekvensbandet med andra liknande auto-oscillatorer, kan reduceras för att hitta auto-oscillatorkänsligheten

. Lösningen av ekvation (3) nära auto-oscillationsgränscykeln (se "Metoder") leder till följande uttryck för auto-oscillatorkänsligheten

:

där p * är det komplexa konjugatet av p .

När auto-oscillatorkänsligheten

Det är känt att det är lätt att använda ekvation (7) och ekvation (8) att utvärdera frekvensfaslåsande bandbredd hos en auto-oscillator till en extern periodisk signal för amplituden A :

På liknande sätt, med ekvation (7) och ekvation (8), är det lätt att utvärdera genereringslinjebredden för en auto-oscillator. I närvaro av termiskt brus utför auto-oscillatorfasen a en slumpmässig promenad med fasvariansen som ökar linjärt med tiden och genereringslinjen för auto-oscillatorn har en lorentzisk form med linjebredden 2Δ ω (full bredd vid halva max (FWHM) )) utvärderas som:

var

är spektraldensiteten för bruseffekten beräknad vid frekvensen för den stationära auto-oscillationen. Spektrumet för det termiska Johnson-Nyquist-bruset kan skrivas som (se ekvation (92) i 7 )

där p n är bruseffekten (kraften hos svängningarna i systemet i det termiska jämviktsläget) och Γ är slingans dämpningsparameter.

En intressant och icke-trivial konsekvens av det allmänna uttrycket (8) är det faktum att auto-oscillatorkänsligheten

och därför faslåsande bandbredd och genereringslinjebredd, avviker när Re ( ß * T ) = 0. Således är auto-oscillatorn nära denna punkt mycket känslig för den externa signalen och kommer enkelt att faslåsas till en extern drivrutin eller synkronisera enkelt med andra liknande auto-oscillatorer. Därför är studiet av auto-oscillatorbeteendet i närheten av den punkt där Re ( ß * T ) = 0 är mycket viktigt för praktiska tillämpningar, och om sådana system med stabila auto-svängningar finns kan de användas för synkronisering av matriser av auto-oscillatorer, även om deras auto-oscilleringsfrekvenser inte är så nära varandra.

Nedan presenterar vi flera exempel på tillämpning av det allmänna uttrycket (8) på olika auto-oscillerande system.

Applikationer till enkla auto-oscillerande system

Isokron (ß i = 0 ) auto-oscillator som genererar vid resonans (ωs = ω 0 )

Modellekvationen (3) täcker ett brett spektrum av auto-oscillatorer av olika fysisk natur, och det kan visas att i enkla speciella fall kan uttrycket för den genererade linjebredden (10) som följer från denna modell reduceras till välkända resultat .

För den isokrona auto-oscillatorn där svängningssystemet är en enkel LCR-krets med en kvalitetsfaktor Q = ω s / 2Γ, där Γ är en dämpningsparameter, kan överföringsfunktionen representeras i en enkel Lorentzian form

I detta fall sammanfaller genereringsfrekvensen med resonansfrekvensen hos det oscillerande systemet (LCR-krets), ωs = ω 0 . Således är den effektiva fördröjningstiden verklig och ges av T = 1 / Γ = 2 Q / ωs . Om fasförskjutningen av svängningar vid förstärkarutgången inte beror på effekt, innehåller icke-lineariteten ß endast den verkliga delen, β = β r , och funktionen G ( p ) i närheten av den stationära punkten kan skrivas som:

där förstärkarförstärkningen K bör väljas för att tillfredsställa amplitudtillståndet för den stationära generationen (det första villkoret i ekvation (5)), vilket leder till K = Γ. Således reduceras det allmänna uttrycket för auto-oscillatorgenerationslinjebredden (10) till ett välkänt resultat 7, 11 :

Icke-isokron (ß i ≠ 0) auto-oscillator som genererar vid resonans (ω s = ω 0 )

I en icke-isokron auto-oscillator har icke-linjäritetsparametern både verkliga och imaginära delar, p = P r + ip i , och den imaginära delen P i beskriver de icke-isokrona egenskaperna hos auto-oscillatorn. Det typiska exemplet på en sådan auto-oscillator är en spinnmoment nano-oscillator (STNO) som kan beskrivas med ekvationen 7 :

där Γ tot innehåller både den naturliga positiva linjära dämpningen Γ och den positiva och negativa olinjära dämpningen Γ nl ( p ). Att separera linjära och olinjära delar i både Γ tot ( p ) och ω ( p ) man får:

Sedan kan den linjära överföringsfunktionen L ( ω ) representeras i den lorentiska formen (12) och den icke-linjära funktionen "förstärkare" har formen:

Beräkning av värdena för β och T från ovanstående ekvationer kan man få linjebredden för auto-oscillatorgenerering från ekvation (10) i form 7 :

där v = p i / P r = ( dω / dp ) / ( d Γ tot / dp ).

Icke-isokron (ß i ≠ 0) auto-oscillator som genererar resonans (ω s ≠ ω 0 )

De kvalitativt nya resultaten erhålls från ekvationer (8–10) när både parametrarna T och β är komplexa. En provekvation som beskriver en auto-oscillator med komplexa T och β kan skrivas i formen:

I det auto-oscillerande systemet som beskrivs med ekvation (19) har den linjära överföringsfunktionen L ( ω ) jämfört med ekvation (12) en ytterligare multiplikator som uttryckligen innehåller fördröjningstiden τ och bör skrivas som

medan den olinjära förstärkarfunktionen G ( p ) också innehåller en ytterligare multiplikator som är ansvarig för olinjär frekvensförskjutning och har formen:

Med hjälp av ovan presenterade uttryck för L ( ω ) och G ( p ) är det enkelt att beräkna ekvationsparametrarnas ekvation (6) vid den stationära frekvensen ω s ≠ ω 0 :

där 5 0 = ω 0 - ω s . Förstärkarförstärkningen K väljs för att tillhandahålla den stationära alstring vid frekvensen ω = ω s som uppfyller villkoren ekvation (5). Ekvationen (19) är också bekväm för den numeriska analysen av problemet.

Villkoret Re ( ß * T ) = 0 för singulariteten i uttrycket (8) för faskänsligheten hos en auto-oscillator kan skrivas om som en ekvation av en rak linje på planet ( ß r , ß i ):

Villkoret Re ( P * T ) = 0 (se den röda linjen i fig. 3a) definierar också gränsen för det auto-oscillerande stabilitetsområdet med avseende på lågfrekvensmodulering av den genererade signalen. De andra gränserna för stabilitetsregionen (visade med svarta heldragna linjer i fig. 3a) är gränserna för stabilitetsområdet med avseende på förfallet till olika auto-oscillationslägen (se fig. 2). Dessa gränser finns från den numeriska lösningen för ekvation (19).

(a) Stabilitetsdiagram för τ = 3 / Γ, δω 0 = ω 0 - ω s = 0, 4Γ. Region för den stabila generationen visas med grön färg. Pilar motsvarar de beräknade tomterna i fig. 4 och 5. (b) och (c) Tidsutveckling av fasskillnaden mellan två kopplade auto-oscillatorer med parametrar nära (b) P r = 0, 07 och långt (c) P r = 1 från lågfrekvensgränsen för auto-oscillationsstabilitetsregion. Olika färger motsvarar olika initialfasskillnader mellan de kopplade auto-oscillatorerna. Andra parametrar (vanliga för båda oscillatorerna) som används vid beräkningar: β i = −0, 7, δω 0, 1 = 0, 4Γ, δω 0, 2 = 0, 37Γ, a 1 = a 2 = 0, 04Γ.

Bild i full storlek

Vi vill notera att normalt sett det negativa tecknet på förstärkarens icke-linjäritet ß r <0, vilket motsvarar fallet när förstärkningsförstärkningen ökar med ökningen av svängningseffekten p , automatiskt leder till instabiliteten hos auto-svängningsregimen. Men om ß i 0 kan de stabila auto-svängningarna existera även om produkten ß i r är negativ. Å andra sidan, när den verkliga delen av auto-oscillatorns icke-linjäritet är positiv ß r > 0, är ​​stabilitetsområdet för auto-svängningarna mycket bredare, och de stabila auto-svängningarna är möjliga för alla tecken på produkten P P r .

Den faslåsande bandbredden för auto-oscillatorn till en extern signal (relativt den linjära dämpningen Γ i det oscillerande systemet) visas i fig. 4 i en logaritmisk skala. Det framgår tydligt av fig. 4 att så snart systemet kommer nära stabilitetsregionens lågfrekvensgräns (23) (visat med den röda linjen i fig. 3) ökar faslåsningsbandbredden drastiskt. Det liknande beteendet demonstreras av diagrammet för linjebredden för auto-oscillatorgenerering (se fig. 5). De numeriska beräkningarna bekräftar att svängningarna förblir stabila när systemet närmar sig gränsen för stabilitetsområdet.

Analysresultat för ekvationen (9) visas med heldragna linjer, numeriska resultat erhållna från ekvation (19) visas med prickar. Tomtens färg motsvarar pilarnas färg i fig. 3.

Bild i full storlek

Analysresultat av ekvationen (10) visas av den blå ytan, numeriska resultat erhållna med ekvation (19) visas med prickar. Området med stabila auto-svängningar visas på planet under ytan. Lågfrekvensinstabilitetsgräns visas med den röda linjen i planet och av det ljusgula planet i rymden.

Bild i full storlek

Två kopplade auto-oscillatorer

För att illustrera det kvalitativa inflytandet av ökningen i auto-oscillatorkänslighet nära linjen Re ( ß * T ) = 0 på beteendet hos kopplade auto-oscillatoruppsättningar betraktade vi ett elementärt exempel på ett kopplat par praktiskt identiska auto-oscillatorer som har något olika generationsfrekvenser, åtskilda med intervallet ω 0 = ω 0 - ω s , och olika initiala faser. Båda auto-oscillatorerna i ett kopplat par beskrivs av samma modell (19), där den externa signalen i den högra sidan ξ 1, 2 ( t ) = en 1, 2 c 2, 1 ( t ) är proportionell (med en kopplingskonstant a 1, 2 ) till svängningsamplituden hos den andra oscillatorn.

Vi beräknade numeriskt fasskillnaden Δ ϕ mellan svängningarna hos de två kopplade oscillatorerna i två olika fall (se fig. 3a): när parametrarna för de kopplade auto-oscillatorerna låg nära lågfrekvensgränsen för auto-oscillationsstabiliteten region (vänsterblå punkt i fig. 3a) och när auto-oscillatorparametrar var långt från den gränsen (höger röd punkt i fig. 3a). Utvecklingen av fasskillnaden i paret med kopplade oscillatorer med tiden i dessa två fall visas i fig. 3b respektive c, där olika färger motsvarar olika initialfasskillnader mellan oscillatorerna. Som man kan se, i det första fallet (fig. 3b) med stor känslighet, reduceras varje initial fasskillnad Δ ϕ mellan de kopplade oscillatorerna snabbt till noll, vilket visar effektiv synkronisering, medan i det andra fallet med relativt låg känslighet den initiala fasskillnaden växer med tiden och ingen synkronisering observeras.

Det bör noteras att i detta speciella fall förekomsten av fördröjningstiden i återkopplingsslingan, i motsats till fallet med synkronisering av två auto-oscillatorer med en fördröjd koppling 29, inte leder till att det finns flera synkroniseringsfrekvenser och motsvarande fasskift. I princip definierar emellertid fördröjningstiden i återkopplingsslingan egenfrekvenserna för auto-oscillatorn med ekvationen (5) och kan leda till en auto-oscillationsregim i flera lägen.

Diskussion

Fig. Fig. 4 och 5 visar att avvikelsen mellan faslåsande bandbredd eller genereringslinjebredden för en icke-isokron auto-oscillator med fördröjd återkoppling sker endast nära lågfrekvensgränsen för auto-oscillationsstabilitetsområdet definierat av ekvationen (23) ), medan beteendet med samma kvantiteter nära alla andra gränser för auto-oscillationsstabilitetsregionen är regelbundet. Således har stabilitetsregionens lågfrekvensgräns speciell betydelse för det icke-autonoma beteendet hos en auto-oscillator.

Om vi ​​i en auto-oscillator har medel för att styra storleken eller / och signera den icke-linjära frekvensskiftet β i (eller / och detuneringen 0 där den stabila auto-svängningen äger rum), kan vi kontrollera faslåset bandbredd och genereringslinjebredden för auto-oscillatorn.

Situationerna när storleken och till och med tecknet på den icke-linjära frekvensförskjutningen kan kontrolleras genom att ändra en viss extern parameter i auto-oscillatorn är inte sällsynta. I en nano-oscillator med ett vridmoment är det i synnerhet möjligt att ändra storleken och tecknet på p helt enkelt genom att ändra riktningen eller / och magneten för det yttre förspänningsmagnetiska fältet (se fig. 6 i 7 ), eller genom att ändra förspänningens likström som driver enheten (se fig. 1d i 33 ). Naturligtvis för en normal auto-oscillator med mättnadslinjäritet ( P r > 0) uppnås minsta linjebredd när auto-oscillatorn är isokron, p = = 0, vilket är välkänt från standard auto-oscillator teori 7 ( se även fig. 4 och 5), men om vi behöver synkronisera många auto-oscillatorer med olika svängningsfrekvenser eller byta en individuell oscillator från ett sammanhängande auto-oscillationsregime till ett system för generering av brusliknande signaler med ett brett frekvensspektrum, vi skulle kunna använda ovan beskrivna regimet för generering av off-resonans i en icke-isokron auto-oscillator och föra denna anordning nära lågfrekvensgränsen för stabilitetsområdet definierat av tillståndet (23).

Sammanfattningsvis fann vi att i en icke-isokron auto-oscillator med tidsfördröjd återkoppling är det möjligt att uppnå en extremt hög känslighet för den externa körsignalen, och därför få ett ovanligt stort synkroniseringsband nära den låga- frekvensgränsen för stabilitetsregionen för auto-svängningar. Förståelsen av det ovan beskrivna beteendet hos auto-oscillatorkänsligheten kan också vara grundläggande viktigt för förståelsen av synkroniseringsegenskaper i biologiska system och för en bättre förståelse av naturen hos vissa sjukdomar, till exempel - hjärtrytmier.

metoder

Analytiska beräkningar

För att härleda den effektiva fasekvationen (7) och uttrycket (8) för faskänsligheten representerade vi den externa signalen ξ ( t ) som en kontinuerlig sekvens av δ- spark, ξ ( t ) = ∫ ξ ( t ′) δ ( t - t ′) dt ′, utvärderade fasresponsen hos oscillatorn till en enda 5- kick ξ ( t ′) δ ( t - t ′) och sammanfattade svar från olika spark. Lösningen av ekvation (3) under påverkan av en svag 5- impuls är nära den frikörande lösningen och kan lätt hittas med hjälp av standardperturbationsmetoder, nämligen genom linjärisering av ekvation (3) nära den ostörda lösningen (4).

För att analytiskt beräkna synkroniseringsbandet med equ ω PL- ekvationen (9) använde vi den periodiska externa signalen

i fasekvationen (7) och letade efter stationära faslåsta lösningar med formen ϕ ( t ) = - ω e t + Δ ϕ , där Δ ϕ är en godtycklig konstant fasförskjutning. Villkoret för att det finns sådana lösningar kan skrivas i formen | ω e - ω s | <Δ ω PL , där faslåsande bandbredd Δ ω PL ges av ekvationen (9).

På liknande sätt kan man byta ut vitgossiskt brus med kända statistiska egenskaper för den externa signalen ξ ( t ) för att få genereringslinjebredden Δ ω för auto-oscillatorn (se kompletterande material för detaljer).

Numeriska metoder

För att kontrollera de härledda analytiska resultaten, löstes den differentiella ekvationen som beskriver en icke-kromatisk auto-oscillator med fördröjning (19) för olika former av den svaga externa signalen ξ ( t ) med användning av metoden för långsamt varierande amplituder, där alla frekvenser normaliserades till den linjära dämpningsparametern Γ (eller linjär relaxationsfrekvens). Ekvationen löstes med en Runge-Kutta-metod i den 4: e ordningen.

För att beräkna faslåsande bandbredd en rent sinusformad periodisk signal med den lilla amplituden

har lagts till som den högra delen ξ ( t ) i ekvationen (19). Den faslåsande bandbredden har erhållits genom att variera frekvensen för den externa signalen och bestämma frekvensen för auto-oscillationen för varje värde på den externa drivfrekvensen.

För att beräkna genereringslinjebredden yttre vita bruset ξ ( t ) i den högra sidan av ekvationen (19) simulerades med slumpmässiga punkter vid regelbundna tidsintervall med normal fördelning av amplituden. Dessa punkter interpolerades lokalt av ett 3: e ordningspolynom för funktionens kontinuitet. Den övre avstängningsfrekvensen för bruset valdes att vara fyra gånger större än relaxationsfrekvensen (Γ) i ekvation (19), som är modellens största karakteristiska frekvens. Korrelationsfunktionen för fasen med auto-svängningar bestämdes efter att lösa (19) numeriskt, och genereringslinjebredden erhölls från denna korrelationsfunktion.

För att hitta området med parametrar där auto-svängningar är stabila analyserade vi möjligheten att sönderfaller stationära auto-svängningar med frekvensen ω s till svängningar med frekvenserna ω s ± Ω under inverkan av små störningar. Som det följer av Lyapunov-kriterierna är auto-svängningarna stabila när Im (Ω) <0 (se kompletterande material).

Kompletterande information

PDF-filer

  1. 1.

    Kompletterande information

    Kompletterande material

kommentarer

Genom att skicka en kommentar samtycker du till att följa våra villkor och gemenskapsriktlinjer. Om du finner något missbruk eller som inte överensstämmer med våra villkor eller riktlinjer ska du markera det som olämpligt.