Kartlägga tvådimensionella polära aktiva vätskor till tvådimensionell tvål och endimensionell sandblästring | naturkommunikation

Kartlägga tvådimensionella polära aktiva vätskor till tvådimensionell tvål och endimensionell sandblästring | naturkommunikation

Anonim

ämnen

  • Tillämpad fysik
  • Vätskedynamik
  • Teoretisk fysik

Abstrakt

Aktiva vätskor och växande gränssnitt är två väl studerade men mycket olika icke-jämviktssystem. Var och en uppvisar icke-jämviktsbeteende som skiljer sig från deras jämvikt motsvarigheter. Här demonstrerar vi en överraskande koppling mellan dessa två: den ordnade fasen av inkomprimerbara polära aktiva vätskor i två rumsliga dimensioner utan bevarande av momentum, och växande endimensionella gränssnitt (det vill säga den 1 + 1-dimensionella Kardar – Parisi – Zhang-ekvationen), tillhör faktiskt samma universitetsklass. Denna universalitetsklasse inkluderar också två jämviktssystem: tvådimensionella smektiska flytande kristaller och en speciell typ av begränsad tvådimensionell ferromagnet. Vi använder dessa anslutningar för att visa att tvådimensionella inkomprimerbara flockar är robusta mot fluktuationer och uppvisar universella långsträckta, anisotropa rumsliga temporära korrelationer av dessa fluktuationer. Vi bestämmer därmed också de exakta värdena för anisotropi-exponenten ζ och grovhetsexponenterna χ x , y som kännetecknar dessa korrelationer.

Introduktion

Icke-jämviktssystem kan bete sig radikalt från sina jämvikts motsvarigheter. Två av de mest slående exemplen på sådant exotiskt icke-jämviktsbeteende är rörliga gränssnitt (till exempel ytan på en växande kristall) 1, och "flockar" (det vill säga koherent rörliga tillstånd av polära aktiva vätskor) 2, 3, 4 5, 6, 7 . Den förstnämnda beskrivs av ekvationen 8 från Kardar – Parisi – Zhang (KPZ), som också är en modell för erosion (det vill säga sandblästring). Denna ekvation förutsäger att ett tvådimensionellt (2D) rörligt gränssnitt (det vill säga ytan på en tredimensionell kristall) är mycket grovare än ytan på en kristall i jämvikt. Däremot förutsäger hydrodynamiska teorier om polära aktiva vätskor 9, 10, 11, 12, 13 att en stor samling av "aktiva" (det vill säga icke-jämvikt) rörliga partiklar (som kan vara allt från rörliga organismer till molekylmotordrivna biologiska makromolekyler 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17 ) kan utveckla långsträckt orienteringsordning i 2D, medan deras jämvikt motsvarigheter (till exempel ferromagneter ), av Mermin – Wagner 18, 19- satsen, kan inte. Samtidigt kan många icke-jämviktssystem också kartläggas på jämviktssystem 20 ; ett exempel på detta som visar sig mycket relevant är kopplingen mellan den 1 + 1-dimensionella KPZ-modellen och den defektfria 2D-smektiska modellen (det vill säga tvål) modell 21, 22 . Här lägger vi till ett levande system till denna lista genom att visa att generiska inkomprimerbara polära aktiva vätskor, till exempel en inkomprimerbar fågelflock, också tillhör samma universalitetsklass.

Eftersom många vätskor flyter mycket långsammare än ljudets hastighet, har en hel del av det arbete som gjorts under de senaste två århundradena på jämviktsvätskor fokuserat på inkomprimerbara vätskor 23, 24 . I det här dokumentet betraktar vi 2D inkomprimerbara aktiva vätskor; mer specifikt betraktar vi dem i rotationsinvarianta, men icke-Galilean-invarianta situationer där momentum inte bevaras (till exempel aktiva vätskor som rör sig över ett isotropiskt friktionsunderlag, såsom celler som kryper på ett substrat). Ett sådant aktivt system innehåller rik fysik: det har nyligen visats att deras statiska rörelseövergång tillhör en ny universalitetsklass 25 . Här fokuserar vi på systemets långsiktiga egenskaper i rörlig fas.

Vi noterar att inkomprimerbarhetsvillkoret inte bara är en teoretisk framsteg; inte bara kan det enkelt simuleras 26, 27, utan det kan uppstå i en mängd verkliga experimentella situationer, inklusive system med långväga avstötande interaktioner 28, och täta system av aktiva partiklar med starka avvisande korta avstånd interaktioner, såsom bakterier 26 . Dessutom spelar inkomprimerbarhet en viktig roll i de rörliga kolloidala systemen i vätskefyllda mikrofluidkanaler som nyligen studerats 29, även om dessa system skiljer sig i detalj från de vi studerar här för att vara tvåkomponenter (bakgrundsfluid plus kolloider).

I detta papper formulerar vi en hydrodynamisk (det vill säga lång våglängd och lång tid) teori om den ordnade, rörliga fasen för en 2D inkomprimerbar polär aktiv vätska. Vi finner att likvärdighetshastighetskorrelationsfunktionerna för den typen av inkomprimerbara polära aktiva vätskor som vi studerar här kan kartläggas exakt på de med två jämviktsproblem: en divergensfri 2D XY- modell (en speciell typ av ferromagnet som skiljer sig från vanliga ferromagneter, som är avvikande) och en dislokationsfri 2D smektisk A flytande kristall 21, 22, 30, 31, 32, såväl som på de tidsberoende korrelationsfunktionerna i den icke-jämviktiga 1 + 1-dimensionella KPZ-ekvationen 8 . Kartläggningen av 2D-smektiken på den 1 + 1-dimensionella KPZ-ekvationen upptäcktes av Golubovic och Wang 21, 22 ; de andra två kartläggningarna är nya (även om 2D-ferromagneter med 2D-dipolära interaktioner, som är liknande men inte identiska system, har också kartlagts på 2D-smektik 30 ). Denna serie av kartläggningar illustreras i fig 1.

Image

Flödeslinjerna för den beställda fasen av en 2D inkomprimerbar polär aktiv vätska, magnetiseringslinjerna för den ordnade fasen av divergensfria 2D XY- magneter, dislokationsfria 2D smektiska skikt och ytorna på en växande endimensionell kristall (som kan vara erhålls genom att ta snapshots med samma tidsintervall) bölja upp på exakt samma sätt över rymden; deras fluktuationer delar exakt samma asymptotiska skalningsbeteende i stor skala. Observera att den vertikala axeln är tid för ytväxt av KPZ och y- kartesiska koordinaten för de andra tre systemen.

Bild i full storlek

Våra resultat innebär särskilt att okomprimerbara polära aktiva vätskor kan utveckla långsträckt orienteringsordning (genom att utveckla en icke-noll medelhastighet 〈 v 〉) i två dimensioner, precis som hittades tidigare för komprimerbara polära aktiva vätskor, men i full kontrast till vanliga divergensfulla ferromagneter med underliggande rotationsvariation, som inte kan ordna det. Skalningsbeteendet för hastighetskorrelationsfunktionerna skiljer sig emellertid mycket från de för komprimerbara polära aktiva vätskor som studerats i ref 11, 12. Specifikt finner vi att jämntidshastighetskorrelationsfunktionen i den ordnade fasen har följande begränsande beteenden:

Image

där X ≡ | x - x ′ | / ξ x och Y ≡ | y - y ′ | / ξ y är omkalkade längder i x- och y- riktningarna, och vi definierar skalningsförhållandet

Image
. Här funktionen
Image
och konstanten c0.295 är båda universella (det vill säga systemoberoende), medan C0 och A är icke-universella (det vill säga systemberoende), positiva, ändliga konstanter och, x , y är icke-universella längder. Observera att det faktum att
Image
går till ett ändligt värde i den stora separationsgränsen | r - r ′ | → ∞ innebär långsiktigt orienteringsordning.

Resultat

Modell

Vi börjar med den hydrodynamiska modellen för komprimerbara polära aktiva vätskor utan bevarande av momentum 9, 11, 12 :

Image

Image

där v ( r, t ) respektive ρ ( r, t ) är respektive de grovkornade kontinuerliga hastighets- och densitetsfälten. Alla parametrarna λ i ( i = 1 → 3), U , 'dämpningskoefficienter' μB , T, 2, det 'isotropiska trycket' P ( ρ , v ) och det 'anisotropiska trycket' P2 ( ρ , v ) är i allmänhet funktioner för densiteten ρ och storleken v ≡ | v | av den lokala hastigheten. Observera att vi utelämnar dämpningsvillkor med högre ordning eftersom de, som vår analys kommer att visa senare, är irrelevanta. Dessutom, eftersom vi här fokuserar på den ordnade fasen, anses μ T, B, 2 vara positiv, som krävs för stabiliteten i den beställda fasen.

U- termen gör att den lokala v har en icke-nollstorlek v 0 i den ordnade fasen, genom den enkla skälet att ha U > 0 för v < v 0, U = 0 för v = v 0, och U <0 för v > v 0 . F- termen är en slumpmässig drivkraft. Det antas vara Gaussian med vita bruskorrelationer:

Image

där "brusstyrkan" D är en konstant parameter för systemet, och i , j betecknar kartesiska komponenter. Observera att vi, i motsats till termiska vätskor (till exempel modell A i ref. 24), är upptagna med aktiva system som inte sparar fart. Som ett resultat är det ledande bidraget till bullerkorrelationerna av den form som visas i ekvation (4).

Vi tar nu den inkomprimerbara gränsen genom att endast ta det isotropiska trycket P för att vara extremt känsligt för avvikelser från medeltätheten ρ 0 . Man kan alternativt överväga att göra U ( ρ , v ) och P 2 ( ρ , v ) extremt känsliga för förändringar i ρ också. Detta skulle vara lämpligt för en aktiv vätska nära dess "aktiva fastkörning" 33- övergång, eftersom i den regimen kan en liten förändring i den lokala densiteten ändra hastigheten från ett icke-nollvärde för ρ < ρ jam till noll för ρ > ρ jam . Vi kommer att diskutera detta fall i en framtida publikation.

Fokuserar vi här på det fall där endast det isotropiska trycket P blir extremt känsligt för förändringar i densiteten, ser vi att i denna gräns, där det isotropiska trycket undertrycker täthetsfluktuationerna extremt effektivt, är förändringar i densiteten för små för att påverka U ( ρ , v ), λ 1, 2, 3 ( ρ , v ), μ B, T, 2 ( ρ , v ) och P2 ( ρ , v ). Som ett resultat, i den inkomprimerbara gränsen som tas på detta sätt, blir alla i praktiken bara funktioner för hastigheten v ; deras ρ- beroende faller ut eftersom ρ är väsentligen konstant.

En annan konsekvens av undertrycket av densitetsfluktuationer med det isotropa trycket P är att kontinuitetsekvationen (2) reducerar till det välkända tillståndet för inkomprimerbart flöde,

Image

vilket, som i enkel fluidmekanik, kan användas för att bestämma det isotropiska trycket P.

Samtliga ovanstående diskussioner tillsammans leder till följande rörelseekvation i tensorsnotation för en inkomprimerbar polär aktiv vätska, och ignorerar irrelevanta termer:

Image

var

Image
, och λ2- och μB- termerna försvinner på grund av inkompressibilitetsbegränsningen ∇ · v = 0 på v . Genom att skriva (6) absorberar vi en term W ( v ) i trycket P , där W ( v ) härrör från λ 3 ( v ) genom att lösa
Image
.

Vi analyserar nu konsekvenserna av ekvation (6) för det ordnade tillståndet.

Linjär teori

I den beställda fasen bryter systemet spontant rotationssymmetri genom att i genomsnitt röra sig längs någon spontant vald riktning som vi kallar

Image

; vi kallar riktningen ortogonalt för detta

Image
. I avsaknad av fluktuationer (det vill säga om vi ställer in bruset f i (6) till noll), kommer hastigheten att vara densamma överallt i rum och tid och har storleken v 0, vilket vi påminner om att läsaren definieras av U ( v 0 ) = 0. Vi behandlar fluktuationer genom att utvidga v runt
Image
, definierar u ( r, t ) som den lilla fluktuationen i hastighetsfältet om detta betyder:

Image

Pluggning av ekvation (7) till ekvation (6) och expanderande till linjär ordning i u leder till en linjär stokastisk partiell differentiell ekvation med konstant koefficienter. Liksom alla sådana ekvationer, kan detta lösas helt enkelt genom spatio-temporärt Fourier-transformation och lösa de resulterande linjära algebraiska ekvationerna för det Fourier-transformerade fältet u ( q, ω ) i termer av det Fourier-transformerade bruset f ( q, ω ). Vi kan därmed relatera tvåpunkts korrelationsfunktionen 〈| u y ( q, ω ) | 2 〉 till de kända korrelationerna (4) för slumpmässig kraft f . Integrering av resultatet över alla frekvenser ω och delning med 2 π ger samma tid, rumsligt Fourier-transformerad hastighet autokorrelation 〈| u y ( q, t ) | 2 〉. Detaljer om denna enkla beräkning ges i avsnittet "Metoder"; resultatet är

Image

var

Image
med
Image
, var
Image
är μ T, 2 ( v ) utvärderade vid v = v 0, och den andra, ungefärlig jämlikhet gäller för alla q0 . Detta kan ses genom att notera det, för
Image
och q0,
Image
, medan för
Image
och q0,
Image
. Följaktligen, i båda fallen, (som tillsammans täcker alla möjliga områden av q för q0 ), approximationen
Image
är giltig.

Vi kan nu erhålla de verkliga rymdöversvängningarna

Image

där L är systemets laterala utsträckning i x- riktningen (dess utsträckning i y- riktningen tas för att syftet med detta argument är oändligt). Observera att de längsgående fluktuationerna

Image
är försumbara jämfört med
Image
. Med användning av (8) kan integralen i (9) lätt ses att konvergera i det infraröda, och följaktligen som systemstorlek L → ∞. Eftersom integralen är begränsad och proportionell mot brusstyrkan D är det uppenbart att för tillräckligt liten D de tvärgående fluktuationerna
Image
kan göras tillräckligt liten för att långsträckt orienteringsordning - det vill säga en icke-noll 〈 v ( r, t )〉 - bevaras i närvaro av fluktuationer; därför är det ordnade tillståndet stabilt mot fluktuationer för tillräckligt liten brusstyrka D.

Vi visar i nästa avsnitt att denna slutsats förblir giltig när icke-linjära effekter beaktas (även om dessa icke-lineariteter ändrar skalningslagarna från de som förutses av den linjära teorin).

Icke-linjär teori

Vi börjar med att utöka den fullständiga rörelseekvationen (6) till högre ordning i u . Detta ger

Image

där superskriptet '0' betyder att de v- beroende koefficienterna utvärderas vid v = v 0, och vi definierar 'longitudinell massa'

Image
.

Den första ekvationslinjen (10) innehåller de linjära termerna, inklusive bruset f ; de tre första termerna på den andra raden är relevanta icke-lineariteter, medan den fjärde termen visar sig vara irrelevant, vilket vi snart kommer att visa.

Genom att skriva (10) har vi försummat "uppenbarligen irrelevanta" termer, med vilka vi menar termer som skiljer sig från de som uttryckligen visas i (10) genom att ha fler krafter av de små svängningarna u, eller mer rumsliga derivat av en viss typ. För mer diskussion om dessa "uppenbarligen irrelevanta" termer, se avsnittet "Metoder". Observera att endast en av de icke-lineariteter som är förknippade med 1, 2 1, 2, 3- termerna, nämligen,

Image
faktiskt kvar på denna punkt.

För att gå vidare måste vi räkna mer noggrant.

Vi behöver bara beräkna ett av de två fälten u x , y , eftersom de är relaterade till komprimeringsförhållandet ∇ · v = 0. Vi väljer att lösa för dig ; dess Fourier-transformerade rörelseekvation kan erhållas genom Fourier-transformering (10) och verkar på båda sidor om den resulterande ekvationen med den tvärgående projektionsoperatören Plm ( q ) = δ lm - ql q m / q 2 som projicerar vinkelrätt mot rumslig vågvektor q . Detta eliminerar trycket. Att ta l = y- komponenten i den resulterande ekvationen ger (försummar högre ordningsgradienttermer):

Image

var

Image
representerar Fourier-komponenten vid vågvektorn q, det vill säga
Image
; det "nakna" värdet för hastigheten v 1, före omskalning och renormalisering, är
Image
och Γ ( q ) ges efter ekvation (8).

Vi raderar nu koordinater ( x , y ), tid t och komponenterna i det verkliga rymdhastighetsfältet u x , y ( r, t ) enligt

Image
Image
Image

där skalningarna av u x ( r, t ) och u y ( r, t ) är relaterade till komprimeringsvillkoret. Observera att vår konvention för anisotropi-exponenten här är exakt motsatsen till den som används i ref 9, 10, 11, 12, 13; det vill säga vi definierar ζ med

Image
att vara den dominerande regimen för vågvector, medan ref 9, 10, 11, 12, 13 definierar denna regim som
Image
.

Efter denna omskalning förblir formen av ekvation (11) oförändrad, men de olika koefficienterna blir beroende av omskalningsparametern

Image
.

Detaljer om denna enkla effekträkning (inklusive den något subtila frågan om hur man ska skala om projektionsoperatörerna) ges i avsnittet "Metoder". Resultaten för de tre parametrarna (dämpningskoefficient μ , 'longitudinell massa' α och brusstyrka D ) som styr storleken på fluktuationerna i den linjära teorin är:

Image
,
Image
, och
Image
.

Vi använder nu logotypen för renormaliseringsgrupp som standard för att bedöma vikten av de icke-linjära termerna i (11). Denna logik är att välja omskalningsexponenterna z , ζ och χ y för att hålla storleken på fluktuationerna i fältet u fast vid omskalningen. Detta uppnås tydligt genom att hålla α , μ och D fast. Från de just hittade omkalkningarna leder detta till tre enkla linjära ekvationer i de tre okända exponenterna z , ζ och χ y ; löser vi dessa, hittar vi värdena på dessa exponenter i den lineariserade teorin: ζ lin = z lin = 2, χ y lin = −1. Med dessa exponenter i handen kan vi nu bedöma vikten av de icke-linjära termerna i (11) på skalor med lång längd, helt enkelt genom att titta på hur deras koefficienter omskalas. (Vi behöver inte oroa oss för att storleken på de faktiska icke-linjära termerna själva ändras vid omskalning, eftersom vi har valt omkalkningarna för att hålla dem konstant i den linjära teorin.) Vi finner att alla icke-lineariteter vars koefficienter är proportionerliga med α är "relevanta" (det vill säga växa vid omskalning), medan de som är associerade med den sista återstående icke-lineariteten,

Image
, associerade med λ- termerna blir mindre vid omskalning:
Image
. Därför kommer detta begrepp inte att påverka det långa avståndet och kan tappas från problemet. Detta skiljer sig mycket från det komprimerbara problemet, i vilket de icke-lineariteterna är obetydliga, medan de X dominerar; orsakerna till denna skillnad diskuteras i 'Metodavsnitt'.

Släpp den

Image
term i (10), och göra en galilisk omvandling till ett "pseudo-rörande" koordinatsystem som rör sig i riktningen
Image
av medelflockrörelse med hastighet
Image
att eliminera den "konvektiva termen" v 1 x u m från höger sida om (10), lämnar oss med vår slutliga förenklade form för rörelseekvationen:

Image

Vi visar nu att ekvation (15) också beskriver ett jämviktssystem: den ordnade fasen i 2D XY- modellen med förbehåll för den divergensfria begränsningen ∇ · M = 0, där M är magnetiseringen. Denna anslutning gör det möjligt för oss att använda rent jämviktstatistisk mekanik (i synnerhet Boltzmann-distributionen) för att bestämma jämntidskorrelationerna av 2D inkomprimerbara polära aktiva vätskor.

Divergensfri 2D XY- modell

2D XY- modellen beskriver en 2D-ferromagnet vars magnetiseringsfält M ( er ) och position r båda har två komponenter. Hamiltonian för denna modell kan skrivas och ignorerar irrelevanta termer, som 34

Image

där μ är "spin-wave stiffness". I den beställda fasen har den "potentiella" V (| M |) en cirkel av globala minima till ett icke-nollvärde av | M |, som vi kommer att vara v 0 .

Expanderar i små svängningar om detta minimum genom att skriva

Image
, vi får, med bara "relevanta" villkor,

Image

där vi definierar 'longitudinell massa'

Image
.

Vi lägger nu till denna modell den divergensfria begränsningen ∇ · M = 0, vilket uppenbarligen antyder ∇ · u = 0. För att verkställa denna begränsning inför vi Hamiltonian en Lagrange-multiplikator P ( r ):

Image

Den enklaste dynamiska modellen som kopplar av tillbaka till jämvikt Boltzmann-distributionen

Image
för Hamiltonian H ′ är den tidsberoende-modellen Ginsburg – Landau 34, 35
Image
, där f är det termiska bruset vars statistik också kan beskrivas genom ekvation (4) med D = kB T = 1 / β . Denna tidsberoende Ginsburg – Landau-ekvation kan lätt ses som exakt ekvation (15) med
Image
. Därför drar vi slutsatsen att den beställda fasen för 2D inkomprimerbara polära aktiva vätskor har samma statiska (dvs lika-tidiga) skalningsbeteenden som den ordnade fasen i 2D XY- modellen med förbehåll för begränsningen ∇ · M = 0.

Denna kartläggning mellan en icke-jämviktsaktiv vätskemodell och en 'divergensfri' XY- modell tillåter oss att undersöka fluktuationerna i vår ursprungliga aktiva vätskemodell genom att studera fördelningsfunktionen för jämviktsmodellen.

För att hantera den exakta identiteten ∇ · u = 0 använder vi ett trick som är bekant från studien av inkomprimerbar fluidmekanik: vi introducerar en "strömningsfunktion"; det vill säga ett nytt skalfält h ( r ) så att

Image

Eftersom denna konstruktion garanterar att inkomprimerbarhetsvillkoret ∇ · u = 0 automatiskt uppfylls finns det ingen begränsning på fältet h ( r ).

Fältet h ( r ) har en enkel tolkning som förskjutning av fluidflödeslinjerna från uppsättningen av parallella linjer längs

Image
som skulle inträffa i frånvaro av fluktuationer, såsom illustreras i fig. 2. (Vi tackar Pawel Romanczuk för att ha påpekat denna bildtolkning för oss.) Detta faktum, som förklaras mer detaljerat i avsnittet "Metoder", är en konsekvens av det faktum att konturerna för strömningsfunktionen, som i konventionell 2D-fluidmekanik, är flödeslinjer.

Image

När det gäller 2D inkomprimerbara polära aktiva vätskor är fältet h ( r ) den vertikala förskjutningen av flödeslinjerna (det vill säga de heldragna linjerna) från uppsättningen parallella linjer (det vill säga de prickade linjerna) längs

Image
det skulle inträffa i frånvaro av fluktuationer. För en defektfri 2D-smektik ger den likaledes den vertikala förskjutningen av de smektiska skikten (det vill säga de heldragna linjerna) från deras referenslägen (det vill säga de prickade linjerna) vid noll temperatur.

Bild i full storlek

Den här bilden av en uppsättning rader som "vill" vara parallell förflyttas av en fluktuering h ( r ) ser mycket ut som en 2D smektisk flytande kristall (det vill säga "tvål"), för vilken skikten faktiskt är 1D fluidband .

2D smektiska och KPZ-modeller

Denna likhet mellan vårt system och en 2D-smektik är inte rent visuellt. I själva verket, genom att göra substitutionen (19), blir Hamiltonian (17) (ignorerar irrelevanta termer som (∂ x y h ) 2, vilket är irrelevant jämfört med

Image

eftersom y -derivativen är mindre relevanta än x -derivaten):

Image

var

Image
och
Image
. Denna Hamiltonian är exakt den Hamiltonian för den dislokationsfria 2D-smektiska modellen med h ( r ) i ekvation (20) tolkad som förskjutningsfältet för de smektiska skikten, såsom också illustreras i fig. 2.

Skalningsbeteenden för den dislokationsfria 2D smektiska modellen är extremt icke trivial, eftersom den "kritiska dimensionen" dc under vilken en rent harmonisk beskrivning av dessa system bryts ned är d c = 3 (ref. 36). Lyckligtvis är dessa icke-triviala skalningsbeteenden kända, tack vare en genial ytterligare kartläggning av 21, 22 av detta problem på den 1 + 1-dimensionella KPZ-ekvationen 8, som är en modell för gränssnittstillväxt eller erosion (till exempel 'sandblästring') ). I denna kartläggning, som ansluter jämntidskorrelationsfunktionerna för 2D-smektiken till KPZ-ekvationen, kartläggs y- koordinaten i smektiken på tiden t i KPZ-ekvationen med h ( x , t ) höjden på ytan 'i position x och tid t över viss referenshöjd. Som ett resultat blir den dynamiska exponenten z KPZ för den 1 + 1-dimensionella KPZ-ekvationen den anisotropiska exponenten ζ för 2D-smektiken. Eftersom skalningslagarna för 1 + 1-dimensionell KPZ-ekvation är kända exakt 8, kan de med jämntidskorrelationerna för 2D-smektiken också erhållas.

Detta ger ζ = 3/2 och χ h = 1/2 som exponenter för 2D-smektik 21, 22, där χh ger skalning av det smektiska skiktets förskjutningsfält h ( r ) med rumslig koordinat x . Med tanke på strömningsfunktionsrelationen (19) mellan h ( r ) och u ( r ) ser vi att skalningseksponenten χ y för u y bara är χ y = χ h −1 = −1 / 2 och att skalningseksponenten χ x för u x är bara χ x = χ y + 1− ζ = −1. Observera att dessa exponenter skiljer sig från dem för komprimerbara polära aktiva vätskor 9, 10, 11, 12, 13 där ζ = 5/3 och χ y = −1 / 5. (Observera att vår konvention här

Image
är det omvända av det
Image
används i ref 9, 10, 11, 12, 13.)

Det faktum att båda skalningsexponenterna χ y och χ x är mindre än noll innebär att både u y och u x fluktuationer förblir begränsade som systemstorlek L → ∞; detta innebär i sin tur att systemet har en långsiktig orienteringsordning sedan 〈| v ( r, t ) - v ( r ′, t ) | 2 〉 förblir begränsat som | r - r ′ | → ∞. Det vill säga, det ordnade tillståndet är stabilt mot fluktuationer, åtminstone för tillräckligt litet brus D.

Hastighetskorrelationsfunktionen kan beräknas genom anslutningen mellan u och h . Med användning av ovannämnda koppling mellan 2D-smektik och den 1 + 1-dimensionella KPZ-ekvationen, har korrelationsfunktionen för jämntidskiktsförskjutning formen 21, 22 :

Image

där vi definierar skalningsvariabeln

Image
, med X ≡ | x - x ′ | / ξ x och Y ≡ | y - y ′ | / ξ y , och den icke-universella konstanten B är en total multiplikativ faktor; uppskattningar av de icke-universella olinjära längderna ξ x , y anges i avsnittet "Metoder".

Det begränsande beteendet hos den universella skalningsfunktionen Ψ har studerats numeriskt tidigare 37, 38 . Här använder vi den mest exakta versionen som för närvarande är känd (www-m5.ma.tum.de/KPZ) 39, 40 :

Image

var för

Image
,

Image

Här är konstantema c och c 1, 2 alla universella och ges av c ≈0.295, c 1 841.843465 och c 2 ≈1.060 … 39, 40 .

Omskrivning av hastighetskorrelationsfunktionen (1) i termer av fluktuationen u med (7) ger

Image

var

Image
är begränsad, och de två korrelationsfunktionerna på högra sidan av jämlikheten är bara derivat av lagringsförskjutningskorrelationsfunktionen:

Image
Image

För att härleda (25, 26) använder vi (19) och definitionen av Ch (det vill säga den första jämställdheten med formel (21)).

Att infoga (25, 26) i (24) och använda de asymptotiska formerna (21, 22) för Ch , erhåller vi (såsom förklaras mer detaljerat i 'Metoder') den asymptotiska formen för hastighetskorrelationsfunktionen som ges av (1) . Vi kan också erhålla de Fourier-transformerade jämntidskorrelationsfunktionerna; dessa anges i avsnittet "Metoder".

Diskussion

Vi formulerar en universell rörelseekvation som beskriver den ordnade fasen av 2D inkomprimerbara polära aktiva vätskor. Efter att ha använt renormaliseringsgruppsanalys för att identifiera relevanta icke-lineariteter för denna modell, utför vi en serie matematiska transformationer som kartlägger vår modell till tre andra intressanta, men till synes oberoende modeller. Specifikt gör vi hittills oförutsedda förbindelser mellan fyra till synes oberoende system: den ordnade fasen av 2D inkomprimerbara polära aktiva vätskor, den ordnade fasen i den divergensfria 2D XY-modellen, dislokationsfria 2D-smektik och växande endimensionella gränssnitt. Genom denna anslutning visar vi att 2D inkomprimerbara polära aktiva vätskor spontant bryter kontinuerlig rotationsinvarians (vilket vanliga divergensfulla ferromagneter inte kan göra), och erhåller det exakta skalningsbeteendet för korrelationsfunktionen för samma tid hastighet för den ursprungliga modellen. Eftersom denna kartläggning endast innebär korrelationer med jämn tid är den dynamiska skalningen för den ursprungliga modellen för närvarande okänd. Vi hoppas kunna bestämma denna skalning i ytterligare arbete.

metoder

Linjär teori

I det här avsnittet ger vi detaljerna om härledningen av den lineariserade teorin om okomprimerbara polära aktiva vätskor. Vi börjar med den linjäriserade rörelseekvationen, erhållen genom att utöka ekvationen (6) av huvudtexten till linjär ordning i fluktuationen u av hastigheten runt dess medelvärde

Image

:

Image

där superskriptet '0' betyder att de v- beroende koefficienterna utvärderas vid v = v 0, och vi definierar 'longitudinell massa'

Image
.

Vårt mål är nu att bestämma skalningen av fluktuationerna u i hastigheten med längd- och tidsskalor och att bestämma den relativa skalningen av de två kartesiska komponenterna x och y av position med varandra och med tiden t . Det vill säga på hydrodynamikens språk söker vi "grovhetsexponenterna" χ x , y , anisotropieksponenten ζ och den dynamiska exponenten z som karakteriserar respektive skalningen av hastighetsfluktuationerna u x , y , "tvärgående" (det vill säga vinkelrätt till flockrörelsens riktning) position y och tid t med 'longitudinell' (det vill säga parallellt med flockrörelsens riktning) position x . Genom att känna till denna skalning (i synnerhet χ x , y ) kan vi svara på den viktigaste frågan om detta system: är det ordnade tillståndet faktiskt stabilt mot fluktuationer?

För att få denna skalning i den linjära teorin börjar vi med att beräkna fluktuationerna i u som förutses av den teorin. Eftersom de två komponenterna i u inte är oberoende, utan snarare låsta till varandra av komprimeringsförhållandet ∇ · v = 0, är ​​det bara nödvändigt att beräkna en av dem. Vi väljer att fokusera på y- komponenten, som kan beräknas genom att först spatio-temporärt Fourier-transformation (27), och sedan agera på båda sidor med den tvärgående projektionsoperatören P lm ( q ) = δ lm - q l q m / q 2 som projicerar vinkelrätt mot den rumsliga vågvektorn q . Komponenten

Image
av den resulterande ekvationen ger då

Image

där vi definierar

Image

med

Image
.

Vi kan eliminera u x från (28) med hjälp av komprimeringsförhållandet ∇ · v = 0, vilket i Fourier-rymden innebär q x u x = - q y u y . Att lösa den resulterande linjära algebraiska ekvationen för u y ( q, ω ) i termer av f m ( q, ω ) ger

Image

där vi definierar den riktningsberoende "ljudhastigheten"

Image

Med ekvation (28) kan vi få 〈| u y ( q, ω ) | 2 〉 från de kända korrelationerna av slumpkraften f (det vill säga formel (4) i huvudtexten). Integrering av resultatet över alla frekvenser ω och delning med 2 π ger samma tid, rumsligt Fourier-transformerad hastighetsautokorrelation:

Image

där den andra, ungefärlig jämlikhet gäller för alla q0 . Detta kan ses genom att notera det, för

Image
och q0,
Image
, medan för
Image
och q0,
Image
. I båda fallen (som tillsammans täcker alla möjliga områden av q för q0 ), är därför approximationen
Image
är giltig.

Ekvation (32) antyder att fluktuationerna varierar snabbast som q0 om q tas till noll längs ett lokus i q- planet som följer

Image
; längs en sådan plats, asymptotiskt,
Image
. Däremot, längs alla andra locii, det vill säga de för vilka
Image
,
Image
. I denna mening kan man säga att regimen
Image
visar de största svängningarna vid små q ; detta innebär anisotropi-exponenten ζ = 2.

Vi kan få den dynamiska exponenten z förutsagd av den linjära teorin genom inspektion av (30), även om viss omsorg krävs. Formen av den första termen i nämnaren kan föreslå ω ∝ q , vilket skulle innebära z = 1. Men förökningen

Image
term i detta uttryck visas inte i vårt slutliga uttryck (32) för fluktuationerna; snarare kontrolleras dessa helt av dämpningstiden
Image
. Balansera ω mot den termen i den dominerande regimen för vågvector
Image
ger
Image
, vilket innebär z = 2.

Nu söker vi χ y , som avgör om det ordnade tillståndet är stabilt mot fluktuationer i ett godtyckligt stort system. Detta kan erhållas genom att titta på de verkliga rymdförändringarna

Image
, där L är systemets laterala utsträckning i x- riktningen (dess utsträckning i y- riktningen tas för att syftet med detta argument är oändligt). Med användning av (32) ser man denna integral enkelt konvergera i det infraröda, och följaktligen som systemstorlek L → ∞. Eftersom integralen är begränsad och proportionell mot brusstyrkan D är det uppenbart att för tillräckligt liten D kan de tvärgående u- fluktuationerna i det verkliga rymden göras tillräckligt små för att den långsträckta orienteringsordningen och därmed en icke -zero 〈 v ( r, t )〉, bevaras i närvaro av fluktuationer; det ordnade tillståndet är stabilt mot fluktuationer för tillräckligt liten brusstyrka D.

Exponenten χ y kan erhållas genom att titta på avgången uu y 2 av u y- fluktuationerna från deras oändliga systemgräns:

Image
; vi definierar "grovhetsexponenten" χ y på det sätt som denna mängd skalar med systemstorlek L :
Image
Observera att denna definition av χ y kräver χ y <0, eftersom den beror på förekomsten av ett ordnat tillstånd, vilket nödvändigtvis innebär att hastighetsfluktuationerna
Image
avvik inte som L → ∞. Om
Image
är inte begränsad, kan man erhålla by y genom att utföra exakt den typ av skalningsargument som beskrivs här direkt på
Image
sig.

Ungefärligt (32) för den dominerande regimen för vågvector

Image
, och ändra variabler i integralen från q x , y till Q x , y enligt
Image
,
Image
visar att
Image
, och följaktligen
Image
.

Observera också att fluktuationerna i u x är mycket mindre än u y . Detta kan ses med hjälp av komprimeringsförhållanden, vilket innebär i Fourier-rymden,

Image
, vilket innebär

Image

vilket är tydligt begränsat som q0 längs vilken plats som helst; det är faktiskt avgränsat ovan av

Image
.

Vi kan beräkna en grovhetsexponent χ x för u x för den linjära teorin från detta resultat exakt som vi beräknar grovhetsexponenten χ y för u y ; vi hittar

Image
. Vi kommer att se i nästa avsnitt att den första raden av denna jämlikhet också rymmer i den fulla icke-linjära teorin, även om värdena för exponenterna χ x , ζ och χ y alla förändras.

Det faktum att u x har mycket mindre fluktuationer än u y betyder att vi måste arbeta till högre ordning i u än i u x när vi behandlar den icke-linjära teorin, som vi gör i nästa avsnitt.

Kartlägga till en jämviktsfri divergensfri magnet

Vi går nu utöver den linjära teorin och utökar hela rörelsekvationen (6) för huvudtexten till högre ordning i u . Vi får

Image

Vi behåller termer som naivt kan tyckas vara högre ordning i de små svängningarna (till exempel

Image
term i förhållande till u x u y δ min term) eftersom, som vi såg i den lineariserade teorin, de två olika komponenterna u x , y i u skalar på olika skalor i lång längd. Därför är det inte direkt uppenbart, till exempel, vilket av de två nämnda termerna som faktiskt är viktigast på långa avstånd. Därför behåller vi dem båda. Av väsentligen samma skäl är det inte uppenbart om
Image
eller
Image
är viktigare, så vi kommer att hålla båda dessa villkor också.

Å andra sidan är det omedelbart uppenbart att en term som t.ex.

Image
är mindre relevant än
Image
, eftersom oavsett den relativa skalningen av u x och u y ,
Image
är mycket mindre på stora avstånd än
Image
, eftersom u x är liten.

På samma sätt släpper vi termen

Image
, eftersom det är uppenbart mindre, med en ∂ x , än u y 3 δ som mitt uttryck redan visas uttryckligen i (34).

Denna typ av resonemang leder oss mycket snabbt till den reducerade modellen (34). Som förklarats i huvudtexten eliminerar tryckterminen att agera på båda sidor om (34) med den tvärgående projektionsoperatören P lm ( q ) = 5 lm - q l q m / q 2 som projicerar vinkelrätt mot den rumsliga vågvektorn q . Ta sedan l = y- komponenten i den resulterande ekvationen ger (11) av huvudtexten, som vi nu använder för att beräkna de omkalkade koefficienterna.

För att göra detta måste vi också bestämma hur projektionsoperatörerna P yx och P yy räknar om vid omskalningarna (det vill säga (12) i huvudtexten). Eftersom i linjärteorin (se till exempel u y - u y korrelationsfunktion (32)) domineras fluktuationer av regimen

Image
, det följer att
Image
och
Image
. Detta innebär att dessa omskalas enligt

Image

Genom att utföra omkalkningarna (12–14) för huvudtexten och (35) ovan på rörelsekvationen (11) för huvudtexten, erhåller vi från omkalkningarna av de första tre (det vill säga linjära) termerna på till höger om följande beräkningar av parametrarna:

Image

och

Image

Observera att termen Γ ( q ) i (11) i huvudtexten innehåller två parametrar ( μ och

Image
); Därför får vi beräkningar av båda dessa parametrar från denna term.

På liknande sätt, när vi tittar på omskalningen av de icke-linjära termerna som är proportionella mot u y 2 respektive u y 3, får vi omkalkningarna:

Image

Vi återhämtar den första av dessa genom att titta på omskalningen av den icke-linjära termen som är proportionell mot u x u y också.

Vi noterar att de två omkalkningarna (38) båda överensstämmer med (37) om vi räknar om v 0 enligt

Image

Genom att räkna med ordet u y y u y får vi omskalningen av

Image
:

Image

Slutligen, genom att titta på omskalningen av bullerkorrelationerna (det vill säga (4) i huvudtexten), får vi skalningen av brusstyrkan D :

Image

Vi använder nu logotypen för standardrenormaliseringsgrupp för att bedöma vikten av de icke-linjära termerna i (11) i huvudtexten. Denna logik är att välja omskalningsexponenterna z , ζ och χ y för att hålla storleken på fluktuationerna i fältet u fast vid omskalningen. Eftersom, som vi såg i vår behandling av den lineariserade teorin (i synnerhet ekvation (32)), styrs den storleken av tre parametrar: 'longitudinell massa' a , dämpningskoefficienten μ och brusstyrkan D , valet av z , ζ och χ y som håller dessa fast kommer klart att uppnå detta. Från omskalningarna (36), (37) och (41) leder detta till tre enkla linjära ekvationer i de tre okända exponenterna z , ζ och χ y ; att lösa dessa, finner vi värdena på dessa exponenter i den lineariserade teorin:

Image

som, förvånansvärt, är de lineariserade exponenterna som vi hittade tidigare.

Med dessa exponenter i handen kan vi nu bedöma vikten av de icke-linjära termerna i (11) i huvudtexten på skalor med lång längd, helt enkelt genom att titta på hur deras koefficienter omskalas. (Vi behöver inte oroa oss för att storleken på de faktiska icke-linjära termerna själva ändras vid omskalning, eftersom vi har valt omskalningarna för att hålla dem konstant i den linjära teorin.) Massan α är naturligtvis fast. Att sätta in de lineariserade exponenterna (42) i omskalningsförhållandet (39) för v 0, ser vi att

Image

Eftersom v 0 visas i nämnaren för alla tre av de icke-linjära termerna förknippade med α , och själva α är fixerat, innebär detta att alla dessa tre termer är "relevanta" i den renormaliseringsgrupps betydelse att växa större när vi går till längre våglängder (det vill säga som

Image
växer). Som vanligt i renormaliseringsgruppen innebär detta att dessa termer i slutändan ändrar systemets skalningsbeteende på tillräckligt långa avstånd. I synnerhet förändras exponenterna z , ζ och χ x , y från deras värden (42) som förutses av den linjära teorin.

Detsamma gäller inte

Image
icke-linearitet, emellertid, eftersom det är irrelevant; det vill säga det blir mindre vid renormalisering. Detta följer av att de lineariserade exponenterna (42) införs i omskalningsförhållandet (40) för
Image
, vilket ger

Image

vilket visar tydligt det

Image
försvinner som
Image
; det vill säga i gränsen för lång våglängd.

Eftersom

Image
var den enda återstående icke-lineariteten som är förknippad med λ- termerna i vår ursprungliga rörelseekvation (34), vi kan noggrant behandla det fulla, långa avståndet hos detta problem genom att utelämna alla dessa icke-linjära termer.

Om du gör det minskar rörelsekvationen (34) till

Image

Innan vi fortsätter med att analysera denna ekvation noterar vi skillnaderna mellan strukturen för detta problem och det i det komprimerbara fallet. I det komprimerbara problemet finns det ingen begränsning som är analog med komprimeringsförhållandet som relaterar till u x och u y . Därför är u x fritt att koppla av snabbt (för att vara exakt, i en tidsskala

Image
) till dess lokala "optimala" värde, vilket lätt ses
Image
. När denna avslappning har inträffat, tappar alla icke-lineariteter förknippade med a från det kompressibla problemet, vilket lämnar λ icke-lineariteter som de dominerande. För en detaljerad diskussion av den ganska knepiga analysen av det komprimerbara problemet som leder till denna slutsats, se ref. 41. I det inkomprimerbara problemet är u x , på grund av inkomprimerbarhetsbegränsningen, inte fritt att slappna av på ett sådant sätt att avbryta icke-lineariteterna, som, eftersom de inte involverar rumsliga derivat, avslutar dominerande λ icke-lineariteter, som involverar rumsliga derivat. Dessutom gör undertryckningen av fluktuationer med inkomprimerbarhetsvillkoret, som vi redan har sett i den linjära teorin, att λ icke-lineariteter inte bara är mindre relevanta än de a , utan faktiskt irrelevanta. Därför kan vi släppa dem i detta inkomprimerbara problem och lämna oss med ekvation (45) som vår rörelseekvation.

Som en sista förenkling gör vi en galileisk omvandling till ett "pseudo-rörligt" koordinatsystem som rör sig i riktningen

Image
of mean flock motion at speed
Image
. Note that if the parameter
Image
had been equal to 1, this would be precisely the frame co-moving with the flock. The fact that it is not is a consequence of the lack of Galilean invariance in our problem.

This boost eliminates the 'convective' term

Image
from the right-hand side of (45), leaving us with our final simplified form for the equation of motion:

Image

which is just equation (15) of the main text.

Mapping of equilibrium 'divergence-free' magnet to 2D smectic

We begin by demonstrating the pictorial interpretation of the 'streaming function' introduced in the main text via

Image

This implies that the streaming function φ for the full velocity field

Image
, defined via v x =∂ y φ , v y =−∂ x φ , is given by

Image

As in conventional 2d fluid mechanics, contours of the streaming function φ are flow lines. When the system is in its uniform steady state (that is,

Image
), these contour lines, defined via

Image

where C is some arbitrary constant, are a set of parallel, uniformly spaced lines given by y n = nC / v 0 .

Now let us ask what the flow lines are if there are fluctuations in the velocity field:

Image
. Combining our expression for φ (48) and the expression (49) for the flow lines, we see that the positions of the flow lines are now given by

Image

which shows that h ( r ) can be interpreted as the local displacement of the flow lines from their positions in the ground state configuration.

This picture of a set of lines that 'wants' to be parallel being displaced by a fluctuation h ( r ) looks very much like a 2D smectic liquid crystal (that is, 'soap'), for which the layers are actually one-dimensional fluid stripes.

This resemblance between our system and a 2D smectic is not purely visual. Indeed, making the substitution (47), the Hamiltonian (17) of the main text becomes (ignoring irrelevant terms like (∂ x y h ) 2, which is irrelevant compared with

Image
because y -derivatives are less relevant than x -derivatives)

Image

var

Image
och
Image
. This Hamiltonian is exactly the Hamiltonian for the equilibrium 2D smectic model with h in equation (51) interpreted as the displacement field of the smectic layers. For the equilibrium 2D smectic the partition function is

Image

where it should be noted that there is no constraint on the functional integral over h ( r ) in this expression, since, as noted earlier, h ( r ) is unconstrained.

Since the variable transformation equation (47) is linear, the partition functions for the smectic: Z s (equation (52)) and that for the constrained XY model:

Image

are the same up to a constant Jacobian factor, which changes none of the statistics.

To summarize what we have learned so far, we have successfully mapped the model for the ordered phase of an incompressible polar active fluid onto the ordered phase of the equilibrium 2D XY model with the constraint ∇ · u =0, which in turn we have mapped onto the standard equilibrium 2D smectic model 30 . The scaling behaviours of the former can therefore be obtained by studying the latter. Note that the connection between our problem and the dipolar magnet, which was studied in ref. 30, is that the long-ranged dipolar interaction in magnetic systems couples to, and therefore suppresses, the longitudinal component of the magnetization. See ref. 30 for more details.

Mapping the 2D smectic to the (1+1)-D KPZ equation

Fortunately, the scaling behaviours of the equilibrium 2D smectic model are known, thanks to an ingenious further mapping 21, 22 of this problem onto the 1+1-dimensional KPZ equation 8, which is a model for interface growth or erosion (for example, 'sandblasting'). In this mapping, which connects the equal-time correlation functions of the 2D smectic to the 1+1-dimensional KPZ equation, the y -coordinate in the smectic is mapped onto time t in the 1+1-dimensional KPZ equation with h ( x , t ) the height of the 'surface' at position x and time t above some reference height. As a result, the dynamical exponent z KPZ of the 1+1-dimensional KPZ equation becomes the anisotropy exponent ζ of the 2d smectic. Since the scaling laws of the 1+1- dimensional KPZ equation are known exactly 8, those of the equal-time correlations of the 2D smectic can be obtained as well.

This gives 21, 22 ζ =3/2 and χ h =1/2 as the exponents for the 2D smectic, where χ h gives the scaling of the smectic layer displacement field h with spatial coordinate x . Given the streaming function relation (47) between h and u, we see that the scaling exponent χ y for u y is just χ y = χ h −1=−1/2 and that the scaling exponent χ x for u x is just χ x = χ y +1− ζ =−1.

The fact that both of the scaling exponents χ y and χ x are less than zero implies that both u y and u x fluctuations remain finite as system size L →∞; this, in turn, implies that the system has long-ranged orientational order. That is, the ordered state is stable against fluctuations, at least for sufficiently small noise D .

The velocity correlation function can be calculated through the connection between u and h . Using the aforementioned connection between 2D smectics and the 1+1-dimensional KPZ equation, the layer displacement correlation function takes the form 21, 22 :

Image

where the scaling variable

Image
, X =| x − x ′|/ ξ x , and Y =| y − y ′|/ ξ y , B is a non-universal overall multiplicative factor extracted from the scaling function, and the non-universal nonlinear lengths ξ x , y are calculated in the next section. The universal scaling function Ψ has been numerically estimated (www-m5.ma.tum.de/KPZ) 37, 38, 39, 40 :

Image

where for

Image
,

Image

Here, the constants c and c 1, 2 are all universal and are given by c ≈0.295, c 1 ≈1.843465 and c 2 ≈1.060… (www-m5.ma.tum.de/KPZ) 39, 40 . Only the lengths ξ x , y , and the overall multiplicative factor of B in (54) are non-universal (that is, system-dependent).

Rewriting the velocity correlation function (equation (1) of the main text) in terms of the fluctuations u of the velocity from its mean value (as defined in equation (7) of the main text), we find

Image

where C 0 =2〈| u ( r, t )| 2 〉 is finite. The two correlation functions on the right-hand side of the equality are just the derivatives of the layer displacement correlation function:

Image
Image

The velocity component scaling functions Ψ x , y can both be expressed in terms of the height scaling function Ψ, via

Image
Image

Using the asymptotic forms (55) for the height scaling function Ψ in (60) and (61), we obtain the asymptotic behaviours:

Image
Image

Using these expressions (62, 63) for the scaling functions in the scaling expressions (58, 59) for the u x and u y correlation functions, and in turn using those in our expression (57) for the velocity correlation function, we obtain

Image

where the non-universal constant A is given by

Image

We have also defined a new universal function

Image

which has the same limiting behaviour as Φ h , namely,

Image

since the additive logarithm in (67) is sub-dominant to the leading κ 3 term.

Calculation of the nonlinear lengths

The nonlinear lengths ξ x , y can be calculated most conveniently from the equilibrium 2D smectic model (51). By definition, ξ x and ξ y are the lengths along x and y beyond which the anharmonic terms in equation (51) become important. To determine these lengths, we treat the anharmonic terms perturbatively, and calculate the lowest order correction to the harmonic terms. In a finite system of linear dimensions L x , y , this 'perturbative' correction will indeed be perturbative (that is, small) compared with the 'bare' values of the harmonic terms. However, they grow without bound with increasing L x , y , and, hence, eventually cease to be small; that is, the perturbation theory breaks down at large L x , y . The values of L x , y above which the perturbation theory breaks down are the nonlinear lengths ξ x , y .

Calculating the lowest order correction to the compression modulus B (that is, the coefficient of (∂ y h ) 2 in the smectic Hamiltonian (51)) can be graphically represented by the Feynman diagram in Fig. 3. This leads to a correction to compression modulus:

Image

This arises from the combination of two cubic terms.

Bild i full storlek

Image

In this calculation, we have taken L y , the system size along y , to be infinite. By the definition of ξ x , | δB |= B for L x = ξ x , which gives

Image

where in the second equality we have used the relations B =2 αv 0 2,

Image
, and k B T = D between the parameters of the smectic and those of the original incompressible active fluid.

Likewise, doing the same calculation for L y = ξ y , L x =∞, we find

Image

Fourier transformed correlation functions

The spatially Fourier transformed autocorrelations are also of interest. Fourier transforming (54) gives

Image

With the change of variables to new variables of integration S and W via

Image
och
Image
, we immediately obtain

Image

med

Image

Combining equation (72) with the Fourier transform of the variable transformation (19) of the main text, we obtain the correlation functions for the ordered phase of the constrained equilibrium 2D XY model, and hence, the ordered phase of incompressible active fluids:

Image
Image

where g ( w )≡ w 2 f ( w ). The limiting behaviours of the scaling functions f ( x ) and g ( x ) are: f ( x →0) → constant≠0, f ( x →∞) ∝ x −7/3, g ( x →0) ∝ x 2 and g ( x →∞) ∝ x −1/3 .

Data tillgänglighet

The data that support the findings of this study are available from any of the corresponding authors on request.

Kompletterande information

PDF-filer

  1. 1.

    Peer Review File

kommentarer

Genom att skicka en kommentar samtycker du till att följa våra villkor och gemenskapsriktlinjer. Om du finner något missbruk eller som inte överensstämmer med våra villkor eller riktlinjer ska du markera det som olämpligt.