Inneboende temperaturberoende utveckling i elektron-boson-spektraltätheten erhållen från optiska data | vetenskapliga rapporter

Inneboende temperaturberoende utveckling i elektron-boson-spektraltätheten erhållen från optiska data | vetenskapliga rapporter

Anonim

ämnen

  • Elektroniska egenskaper och material
  • Superledande egenskaper och material

Abstrakt

Vi undersöker effekterna av smetning av temperatur på den elektron-boson spektrala densitetsfunktionen ( I 2 χ ( ω )) som erhållits från optisk data med hjälp av en maximal entropi-inversionsmetod. Vi börjar med två enkla modellinmatningar I 2 χ ( ω ), beräknar de optiska spridningshastigheterna vid valda temperaturer med hjälp av modellinspektraldensitetsfunktionerna och en generaliserad Allens formel, och extraherar sedan tillbaka I 2 χ ( ω ) vid varje temperatur från den beräknade optisk spridningshastighet med användning av den maximala entropimetoden (MEM) som har använts för analys av optiska data för högtemperatursupraledare inklusive kuprater, och jämför slutligen de resulterande I 2 ' ( ω ) med de inmatade. Från detta tillvägagångssätt finner vi att inversionsprocessen kan återställa ingången I 2 χ ( ω ) nästan perfekt när kvaliteten på passningarna är tillräckligt bra och även temperatursprutande (eller termisk breddande) effekter visas i I 2 χ ( ω ) när kvaliteten på passformar är inte tillräckligt bra. Vi fann att kopplingskonstanten och den logaritmiskt genomsnittliga frekvensen är robusta för temperaturspridningseffekterna och / eller kvaliteten på passningar. Vi använder dessa robusta egenskaper för de två kvantiteterna som kriterier för att kontrollera om experimentella data har en inre temperaturberoende utveckling eller inte. Vi applicerar försiktigt MEM på två materialsystem (ett optimalt dopat och det andra underdopade cuprates) och drar slutsatsen att I 2 χ ( ω ) extraherad från den optiska datan innehåller inneboende temperaturberoende utvecklingar.

Introduktion

I starkt korrelerade material inklusive högtemperatur-superledare visas informationen om korrelation mellan laddningsbärare i deras inelastiska spridningsspektra. Interaktionen mellan laddningsbärare kan beskrivas med elektron-boson-spektraldensitetsfunktionen, som kan beskrivas med en modell för att utbyta de kraftmedierande bosonerna mellan elektroner. Här betecknar vi elektron-boson-spektraltäthetsfunktionen som I 2 χ ( ω ), där jag är kopplingskonstanten mellan boson och en elektron och χ ( ω ) är energispektret för boson. I superledande material kan spektraldensitetsfunktionen elektron-boson spela en viktig roll för att bilda elektron-elektron Cooper-par för superledningen. Därför har denna elektron-bosonfunktion varit känd som limfunktionen (spektral). I 2 χ ( ω ) och / eller χ ( ω ) kan exponeras experimentellt med olika spektroskopiska experimentella tekniker 1 . Limfunktionen kallas också Eliashberg-funktionen 2 . I cupratesystem visar denna elektron-bosontäthetsfunktion universal temperatur och dopingberoende egenskaper 1 . Speciellt spelar optisk spektroskopisk teknik en avgörande roll för att exponera temperaturen och dopningsberoende egenskaperna för limfunktionen eftersom denna teknik kan användas för att studera alla cupratesystem. Vanligtvis extraherar man spektraldensitetsfunktionen elektron-boson från den optiska spridningshastigheten (eller den imaginära delen av den optiska självenergin) som kan definieras av en utökad Drude-modell 3, 4 med användning av generaliserade Allens fomulor 5, 6, 7, 8 9, 10 . Utdragsprocesserna kan kategoriseras i två grupper: modellberoende och modelloberoende 8, 10, 11 processer. Speciellt har en av de modelloberoende processerna som är integrerade med en maximal entropimetod 10 använts i stor utsträckning sedan dess introduktion och tillåter oss i princip att erhålla de mest troliga spektraldensitetsfunktionerna för elektron-boson från den optiska datan. Den modelloberoende processen sätter inga begränsningar i formen av I 2 χ ( ω ) förutom för att kvantiteten är positiv. Genom att använda denna process har många viktiga temperatur- och dopningsberoende egenskaper hos I 2 ω ( ω ) exponerats från optiska data 12, 13, 14, 15 ; i dessa studier har författarna använt ungefärliga Shulga et al. 7 eller Sharapov och Carbotte 9- formler. Det har också förekommit några andra optiska studier 16, 17, 18 som visar mindre temperatur- och dopingutvecklingar i det extraherade limet (eller I 2 ' ( ω )) -funktionerna; i dessa studier har författarna erhållit en histogramrepresentation av limfunktionen med användning av en process med minst kvadrater och hela uttrycket 7, 19 för den optiska konduktiviteten.

I det här dokumentet undersökte vi effekterna av temperatursprutning som kan orsakas av den maximala invropningsinversionsprocessen. Denna fråga kommer att vara ett viktigt problem för att berätta om de temperaturberoende utvecklingen i I 2 χ ( ω ) som extraheras med användning av den maximala entropi-inversionsprocessen är inneboende eller extrinsiska. Vi började med två modell I 2 χ ( ω ) (en består av en enda Gauss-topp och de andra två identiska (eller dubbla) Gaussiska topparna), beräknade de optiska spridningshastigheterna vid utvalda temperaturer med Shulga et al. formel 7, som är en integrerad ekvation som relaterar elektron-boson-spektraldensiteten till den optiska spridningshastigheten, applicerade sedan den maximala entropi-inversionsprocessen 10 för att extrahera I2 ' ( ω ) från de beräknade optiska spridningshastigheterna och jämförde slutligen den resulterande I2 χ ( ω ) vid de valda temperaturerna med ingången I 2 χ ( ω ) för att kontrollera om det finns några andra temperaturberoende egenskaper än temperatursprutningen. Från detta tillvägagångssätt bekräftade vi att effekterna av temperaturspridning (eller termisk breddning) på den extraherade I 2 χ ( ω ) är beroende av kvaliteten på passningar och fann att två fysiska mängder (kopplingskonstanten och den genomsnittliga frekvensen av I 2 χ ( ω )) är robusta för kvaliteten på passformar. Vi reanalyserar också noggrant optiska data för två (optimalt och underdopade) Bi-baserade cuprates med olika monteringskvaliteter (optimalt dopade) och ett annat tillvägagångssätt (underdopad) för att se om de temperaturberoende egenskaperna i det experimentella spektra är iboende eller kommer från bara temperaturen smörjer. Från dessa studier kommer vi till en slutsats att de temperaturberoende trenderna för den extraherade I 2 χ ( ω ) från optiska data med användning av den maximala entropimetoden är helt klart inneboende trots att det finns några oundvikliga effekter på temperaturspridning.

Modellberäkningar och resultat

För våra modellberäkningar använde vi två inmatade elektron-boson-spektraltäthetsfunktioner: en består av en enda Gauss-topp, dvs.

där Ap är det Gaussiska toppområdet på 31 meV, d är bredden på 10 mev, och ωp är mittfrekvensen på 60 meV och den andra består av två identiska Gaussiska toppar, dvs.

där A p , 1 och A p , 2 är områdena för de två gaussiska topparna med samma värde på 31 meV, d1 och d2 är bredden på de två topparna med samma värde på 10 mev och ω p , 1 och ω p , 2 är mittfrekvenserna med 60 meV respektive 120 meV, såsom visas i de nedre ramarna i fig 1 och 3. Vi beräknade de optiska spridningshastigheterna (1 / t op ( ω , T )) vid utvalda temperaturer från 5 K till 300 K för de två ingångarna I 2 χ ( ω ) med ekv. (3) i metodavsnittet och tar 1 / t imp = 0. De beräknade optiska spridningshastigheterna visas i de övre ramarna i fig 1 och 3 för de enskilda och dubbla Gauss I2 ' ( ω ).

De beräknade optiska spridningshastigheterna med Shulgas formel, ekv. (3) i metodavsnittet och passar (ramar ( a, b )) vid valda temperaturer för ingångsskarpa Gaussian I 2 χ ( ω ) som visas i ramar ( c, d ). I ramar ( c, d ) visar vi också den extraherade I 2 χ ( ω ) för lösa respektive snäva passningar med den maximala entropimetoden.

Bild i full storlek

De beräknade optiska spridningshastigheterna inkluderade slumpmässiga ljud av amplituder på 1 meV och 5 meV vid 300 K visas respektive i ramar ( a, b ) tillsammans med deras passningar erhållna med användning av den maximala entropimetoden med olika otillräckliga parametrar, σ . Ramar ( c, d ) visar respektive extraherade I 2 ' ( ω ) för de två olika amplituderna för slumpmässiga ljud med 1 meV respektive 5 meV.

Bild i full storlek

De beräknade optiska spridningshastigheterna med Shulgas formel, ekv. (3) i metodavsnittet och passar (ramar ( a, b )) vid valda temperaturer för ingången två skarpa gaussiska I 2 χ ( ω ) som visas i ramar ( c, d ). I ramar ( c, d ) visar vi också den extraherade I 2 χ ( ω ) för lösa respektive snäva passningar med den maximala entropimetoden.

Bild i full storlek

Sedan extraherade vi spektraldensitetsfunktionerna elektron-boson ( I 2 χ ( ω )) från de beräknade optiska spridningshastigheterna (1 / τ op ( ω )) med hjälp av den maximala entropimetoden (MEM) för att se eventuella temperaturutsmetningseffekter. Vi kontrollerade kvaliteten på passningar med den perfekta parametern σ som en justerbar parameter (se ekv. (11) i metodavsnittet). I Fig. 1 (a, c) visar vi respektive passningar och extraherade I 2 ' ( ω ) med samma felparameter σ = 0, 10 för alla valda temperaturer. Trots att kvaliteten på passningar är ganska bra för alla temperaturer visar de resulterande I 2 χ ( ω ) vissa temperaturberoenden; när temperaturen ökar blir det extraherade I 2 χ ( ω ) bredare jämfört med ingången I 2 χ ( ω ). Vi kallar denna temperaturberoende trend som temperatursmörjning eller termisk breddning. Vi noterar att det extraherade I 2 χ ( ω ) vid 5 K är nästan samma som ingången I 2 χ ( ω ). För temperatur 300 K fall passar vi också in data med större felanpassade parametrar ( σ = 0, 30, 0, 50 och 1, 00) för att se det oberoende beroende beteendet och observera att breddningen blir större när parametern inte passar. I fig. 1 (b, d) visar vi också respektive passar med mindre anpassade parametrar ( σ = 0, 10, 0, 05, 0, 02 och 0, 007 från låga till höga temperaturer) och det extraherade I2 ' ( ω ) för samma utvalda temperaturer. För att återhämta ingången I 2 ' ( ω ) helt från de beräknade (eller teoretiska) optiska spridningshastigheterna måste vi använda det mindre värdet för felanpassningsparametern ( σ ) för den högre temperaturen som visas i fig 1 (d) .

Nu har vi lagt till slumpmässiga ljud till den beräknade optiska spridningshastigheten vid 300 K och analyserat de nya optiska spridningshastigheterna med MEM för att undersöka bruseffekter på den extraherade I 2 χ ( ω ). Vi har lagt till två olika amplituder av slumpmässiga ljud: en är 1 meV och den andra 5 meV. Vi visar de nya optiska spridningshastigheterna inkluderade de slumpmässiga ljuden för amplituder på 1 meV respektive 5 meV, i figur 2 (a, b). Vi monterade de nya optiska spridningshastigheterna med MEM med olika inpassningsparametrar, som visas i figuren. Passar bra för alla passande parametrar. För varje fall av slumpmässigt brus verkar den felaktiga parametern närma sig ett begränsande värde; σ ~ 0.53323 för amplituden på 1 meV och σ ~ 2.66647 för amplituden på 5 meV. Begränsningsvärdet verkar vara relaterat till amplituden hos det slumpmässiga bruset; den högre brusamplituden ger det större begränsande felanpassningsvärdet. Vi noterar att för inget brus verkar begränsningsvärdet vara noll (se fig. 1). I fig. 2 (c, d) visar vi det extraherade I2 ' ( ω ) för de två olika brusfallen respektive ingången I2' ( ω ). För båda fallen erhöll vi mycket skarpare I 2 χ ( ω ) än ingången I 2 χ ( ω ) med felanpassade parametrar nära gränsvärdet, vilket verkar vara frånvarande för inget brus.

I fig. 3 visar vi passningar och extraherade I 2 χ ( ω ) för ingångsdubbel Gaussian I 2 χ ( ω ). I fig 3 (a) visar vi de beräknade optiska spridningshastigheterna vid utvalda temperaturer med användning av ekv. (3) i metodavsnittet och passar till de beräknade spridningshastigheterna med hjälp av den maximala entropimetoden (MEM) med samma felparameter ( σ ) på 0, 1 för alla valda temperaturer. Alla passformer är ganska bra. I fig. 3 (c) visar vi motsvarande extraherade I2 ' ( ω ) vid alla utvalda temperaturer som uppvisar starka temperaturberoenden; vid 300 K slås de två topparna samman till en bred enstaka topp och vid 200 K upplöses de två topparna men deras positioner är röda (den lägre frekvensstoppen) och blå- (den högre frekvensstoppen) skiftade. Vid 5 K är den extraherade I 2 χ ( ω ) nästan densamma som ingången I 2 χ ( ω ). Vi noterar att medan endast toppförlängning sker för det enskilda Gauss-fallet sker både toppbredning och förskjutning för det dubbla Gauss-fallet. Men för det dubbla Gauss-fallet verkar breddningen orsaka förskjutningen; toppskiftningen är en sekundär effekt. Som vi kan se i fig. 3 (b, d) när vi passar hårdare (eller med mindre anpassade parametrar: σ = 0, 10, 0, 05, 0, 02, 0, 01 och 0, 001 från låga till höga temperaturer) till data vid höga temperaturer. kan återhämta nästan fullständigt ingångsdubbel (eller tvåpix) Gauss I2 χ ( ω ). Det är värt att notera att eftersom de beräknade (eller teoretiska) optiska spridningshastigheterna inte innehåller några fel (eller några ljud) kan vi återställa ingången I 2 χ ( ω ) perfekt. Men i allmänhet innehåller experimentellt uppmätta optiska spridningshastigheter alltid vissa bakgrundsosäkerheter och på grund av dessa osäkerheter som vi kunde se tidigare (se diskussionen med fig. 2) kan en fortfarande kunna passa in i data och extrahera rätt I 2 χ ( ω ) men det verkar inte vara lätt att hitta rätt felparameter för att få rätt I 2 χ ( ω ).

Intressant nog konstaterar vi att vissa fysiska mängder är ganska robusta för temperatursmörjningen och / eller kvaliteten på passformen. Dessa mängder är kopplingskonstanten ( λ ) och den logaritmiskt genomsnittliga frekvensen ( ω ln ) som kan beräknas utifrån elektron-boson-spektraldensitetsfunktionen ( I 2 χ ( ω )). De två kvantiteterna kan definieras enligt följande:

där ωc är avstängningsfrekvensen; för denna studie tar vi frekvensen som 300 meV. Vi beräknade dessa två kvantiteter med allt extraherat I 2 χ ( ω ) hittills. I fig 4 (a) visar vi de erhållna kopplingskonstanterna ( λ ) som temperaturfunktioner för de två ingångarna I 2 χ ( ω ) och både lösa och täta passningar; kopplingskonstanterna för alla fyra fall visar nästan inga temperaturberoende. I fig. 4 (b) visar vi den erhållna genomsnittliga frekvensen ( ω ln ) på I 2 χ ( ω ) som temperaturfunktioner också för de två ingångarna I 2 χ ( ω ) och både lösa och täta passningar. Denna mängd visar ett ganska litet temperaturberoende för lös passform; i värsta fall minskar den genomsnittliga frekvensen vid 300 K cirka 3% jämfört med värdet vid 5 K för det dubbla Gaussiska och lösa passformet (den röda triangeln). I fig. 4 (c) visar vi kopplingskonstanten som en funktion av kvaliteten på passningar för den optiska spridningshastigheten erhållen från den enskilda gaussiska I2 ' ( ω ) vid 300 K (se fig. 1 (c, d) ); kopplingskonstanten visar nästan inget temperaturberoende. Därför drar vi slutsatsen att kopplingskonstanten är en ganska robust kvantitet för både temperatursmörjning och passformens kvalitet. I fig. 4 (d) visar vi den genomsnittliga frekvensen som en funktion av passformens kvalitet för samma fall i fig. 4 (c); denna kvantitet visar mer beroende av passformens kvalitet än kopplingskonstanten men fortfarande är beroendet ganska litet. Vi noterar att den genomsnittliga frekvensen ökar med att minska parametern för felanpassning. I fig. 4 (e, g) visar vi kopplingskonstanterna som funktioner för passformkvaliteten för de optiska spridningshastigheterna inkluderade slumpmässiga ljud med amplituder på 1 meV och 5 meV innan MEM-inversionsprocessen utförs (se fig. 2) ). I fig. 4 (f, h) visar vi motsvarande genomsnittliga frekvenser som funktioner för passformens kvalitet. Båda kvantiteterna visar liknande anpassningskvalitetsberoenden oavsett amplituder för slumpmässiga ljud. Från dessa resultat lärde vi oss att dessa två kvantiteter är ganska robusta för både temperatursmörjning (eller termisk breddning) och kvaliteten på passningar och kan vara viktiga mått för att kontrollera om det finns intrinsiska temperaturberoende utvecklingar i experimentell optisk data vid olika temperaturer.

Ramar ( a, b ) visar respektive kopplingskonstanten ( λ ( T )) och den logaritmiskt genomsnittliga frekvensen ( ω ln ( T )) för den extraherade I 2 χ ( ω ) från de lösa och täta passningarna för ingångssingeln och dubbla Gaussiska toppar. Ramar ( c, d ) visar respektive kopplingskonstanten ( λ ( σ )) och den genomsnittliga frekvensen ( ω ln ( σ )) för det extraherade I 2 χ ( ω ) med användning av fem olika kvaliteter ( σ ) passningar för matar in enstaka Gauss-topp vid 300 K. Ramar ( e, f ) visar respektive kopplingskonstanten ( λ ) och den genomsnittliga frekvensen ( ω ln ) för det extraherade I2 χ ( ω ) med sju felparametrar ( σ ) från optisk spridningshastighet inkluderade de slumpmässiga ljuden för amplituden på 1 meV för den ingående gaussiska toppen vid 300 K. Ramar ( g, h ) visar samma kvantiteter som i ramar ( e, f ) förutom en större amplitud av slumpmässigt brus med 5 meV.

Bild i full storlek

Tillämpning på verkliga materialsystem och diskussion

Nu letar vi upp två Bi-baserade cupratesystem: ett är ett optimalt dopat Bi 2 Sr 2 CaCu 2 O 8+ δ (Bi2212) med T c = 96 K och det andra en underdopad Bi2212 med T c = 69 K. Vi betecknade dem som Bi2212-OPT96A respektive Bi2212-UD69. Dessa två system har analyserats med ett liknande tillvägagångssätt och studierna har redan publicerats 12, 20 . Men här fokuserar vi på frågan om dessa materialsystem innehåller inneboende temperaturberoende utveckling eller deras temperaturberoende egenskaper är biprodukter av inversionsprocessen. För att lösa problemet uttryckligen reanalyserade vi Bi2212-OPT96A-uppgifter med två olika passformkvaliteter med den maximala entropimetoden och analyserade Bi2212-UD69-data för första gången med hjälp av den maximala entropi-inversionsprocessen.

Vi använde den maximala entropimetoden på Bi2212-OPT96A vid olika temperaturer med två olika uppsättningar av felanpassade parametrar som beskrivs nedan. Vi noterar att den större uppsättningen av felanpassade parametrar ( σ ) liknar den som användes i den publicerade litteraturen 12 . Vi jämförde de resulterande I 2 ' (') erhållna från MEM-applikationerna varandra för att se eventuella inneboende temperaturberoende utvecklingar i experimentdata. Vi visar data för optisk spridningshastighet vid normala tillstånd och passar i Fig. 5 (a) och motsvarande extraherade I2 ' ( ω ) i Fig. 5 (b). I inlägget i Fig. 5 (b) visar vi topplägena som temperaturfunktioner för de lösa (eller större felanpassade parametrarna) och snäva (eller mindre anpassade) passningsfall; båda uppsättningarna av data visar liknande värden på toppositionerna och en liknande temperaturberoende trend. Den större uppsättningen av felanpassade parametrar ( σ ) är 3, 5 vid 102 K, 2, 3 vid 200 K och 2, 7 vid 300 K för de lösa passningarna och motsvarande mindre uppsättning parametrar för de smala passningarna är 1, 8, 1, 28 och 1, 55, respektive. Vi noterar att det extraherade I 2 χ ( ω ) för de snäva passningarna verkar vara icke-fysiskt eftersom det för de tre temperaturerna finns spektrala mellanrum (eller inga spektralvikter) i lågfrekvensområdet under ~ 40 meV för 102 K och ~ 60 meV för 200 K och 300 K, som inte har observerats. Vi noterar också att de skarpare topparna av I2 ' ( ω ) extraherade med de mindre felanpassade parametrarna kan erhållas på grund av experimentella osäkerheter (se fig. 2 (c, d)). Vi visar också de två robusta mängderna som diskuterats tidigare (se fig. 4): kopplingskonstanten i fig. 5 (c) och den logaritmiskt genomsnittliga frekvensen i fig. 5 (d). Båda uppsättningarna av kopplingskonstanten erhållna genom olika kvaliteter av passformar visar liknande temperaturberoenden och uppsättningen från de smala passningarna har något lägre värden. Vi betonar att två uppsättningar av kopplingskonstanterna visar tydliga starka temperaturberoenden oavsett passformens egenskaper. Dessa temperaturberoenden är för stora (~ 23% minskning i λ från 101 K till 300 K) för att orsakas av temperaturutsmetningen eller kvaliteten på passningar om vi överväger mindre än 1% minskning i λ från 5 K till 300 K för enda Gauss-fall (se Fig. 4 (a)). De två uppsättningarna av de genomsnittliga frekvenserna som erhålls med olika passformkvaliteter är ganska olika. Uppsättningen som erhålls med de snäva passningarna visar mindre värden än de med de lösa passningarna; detta är motsatt till den kvalitetsberoende trenden för den genomsnittliga frekvensen (se fig. 4 (d)). De temperaturberoende trenderna för de två uppsättningarna av de genomsnittliga frekvenserna liknar dock varandra. Vi förväntar oss att den stora skillnaden och den motsatta trenden kan komma från okända experimentella osäkerheter som varje experimentell data kan ha. Våra resultat indikerar att de optiska data från Bi2212-OPT96A-provet innehåller inneboende temperaturberoende utveckling även om de visar vissa beroenden på passformens kvalitet.

Ram ( a ) visar optisk spridningshastighetsdata för en optimalt dopad Bi2212 (Bi2212-OPT96A) och passar med användning av den maximala entropimetoden (MEM) vid tre temperaturer över Tc , 96 K. Ram ( b ) visar extraherad elektron-boson-spektraldensitet funktioner ( I 2 χ ( ω )) med MEM passar med två olika parametrar för felanpassning vid varje temperatur (se i texten). I insättningen jämför vi två uppsättningar av temperaturberoende topplägen för I 2 χ ( ω ) erhållna med två olika otillräckliga parametrar. I ramar ( c, d ) visar vi respektive temperaturberoende kopplingskonstant ( λ ) och logaritmiskt medelvärdesfrekvens ( ω ln ) för extraherad I2 χ ( ω ) med de två olika otillräckliga parametrarna.

Bild i full storlek

Nu använde vi den maximala entropimetoden (MEM) för optiska data för det underdoperade Bi2212-UD69-provet. Elektron-boson-spektraldensitetsfunktionerna ( I 2 ' ( ω )) för detta material har extraherats 20 . Men i den tidigare studien modellerade författaren formen på I 2 χ ( ω ) med två (vassa och breda) komponenter och utrustade uppgifterna med en minst kvadratisk process. Här ger vi inga begränsningar för formen av I 2 χ ( ω ) förutom ett krav på att kvantiteten är positiv. Vi måste använda den generaliserade kärnan Eq. (4) 9 i metodavsnittet för Allens formel för att analysera detta underdopade kuprat eftersom vi måste ta hand om pseudogap 21 i det underdopade Bi2212-UD69-provet. Vi antog samma form av pseudogap som tidigare använts 20, 22 ; i denna pseudogap-modell återvinns tätheten av tillståndsförlust i pseudogap precis ovanför pseudogap. Den symmetriiserade och normaliserade tätheten av tillstånd,

(eller pseudogap), kan beskrivas på följande sätt:

där Δ PG är storleken på pseudogap och

är densiteten för tillstånd vid Fermi-energin (eller nollfrekvens). Vi noterar att

är ett mått på styrkan (eller djupet) i pseudogap. Vi använde den temperaturberoende modellen

observerats av Kanigel et al. 23, 24, dvs.

för T < T * och 1, 0 för T > T *, där T * är pseudogap (start) temperaturen. För denna analys tar vi T * = 300 K och Δ PG = 43, 3 meV. I fig 6 (a) visar vi data för optisk spridningshastighet och passar med den maximala entropimetoden vid olika temperaturer i normala tillstånd. Anpassningsparametrarna ( σ ) för dessa passningar är respektive 4.2, 3.1, 3.8, 3.3, 3.4, 3.4, 3.5 och 3.7 från låga till höga temperaturer. Vi behövde ha föroreningarnas spridningshastigheter för att ta bort icke-fysiska uppturer i lågfrekvensregion 14 . Föroreningsspridningshastigheterna (1 / t imp ) är 10, 10, 0, 0, 0, 30, 80 respektive 80 meV från låga till höga temperaturer. I fig 6 (b) visar vi det extraherade I2 ' ( ω ) vid olika temperaturer som har en dominerande enstaka topp och uppvisar starka temperaturberoenden; den termiska breddningen kan existera i det extraherade I2 ' ( ω ) och toppläget förskjuts tydligt till högre frekvens med ökande temperatur. Men om vi bara tar hänsyn till smetningen av temperaturen förväntas inte denna toppförskjutning (se fig. 1 och relaterad diskussion). Dessa resultat liknar de rapporterade I 2 χ ( ω ) 20 men som vi påpekade tidigare i detta nya arbete formas inte I 2 χ ( ω ). I insättningen visar vi den temperaturberoende utvecklingen av toppositionen i det extraherade I 2 χ ( ω ); denna temperaturberoende trend i toppositionen skiljer sig något från den i den rapporterade litteraturen 20 . Denna skillnad kan hänföras till de olika begränsningarna för formen av I 2 χ ( ω ) i de två olika analysmetoderna (den ena är MEM och den andra en minst kvadratisk metod). Topppositionen visar en anomali (en kink) nära 150 K; över temperaturen sjunker toppläget nästan linjärt med sjunkande temperatur och under temperaturen verkar läget vara fast vid cirka 26 meV. Denna karakteristiska temperatur kan vara relaterad till börjanstemperaturen för den magnetiska resonansläget som observerades genom inelastiska neutronspridningsförsök 25, 26 . I fig 6 (c, d) visar vi respektive kopplingskonstanten ( λ ) och den genomsnittliga frekvensen ( ω ln ) som temperaturfunktioner. Båda kvantiteterna visar starkt temperaturberoende; medan kopplingskonstanten ökar, när man sänker temperaturen, nästan linjärt från 1, 8 vid 295 K till 5, 7 vid 70 K, minskar medelfrekvensen med reducerande temperatur och visar ett kink nära 200 K. Dessa starka temperaturberoenden (~ 68% minskar i λ från 70 K till 295 K) kan inte förklaras med temperaturspridningseffekten (mindre än 1% minskning i λ från 5 K till 300 K för det enskilda Gauss-fallet) som kan orsakas av den maximala entropi-inversionsprocessen; om vi beaktar resultaten från våra tidigare modellberäkningar är temperaturberoenden som observerats i experimentdata för stora för att orsakas av temperatursprutningseffekten. Dessa resultat indikerar också att de experimentella uppgifterna för Bi2212-UD69-provet tydligt innehåller inre temperaturberoende utvecklingar. Vi noterar att liknande starka temperaturberoende resultat har uppnåtts av Hwang 20 med användning av en minst kvadratisk passningsanalys av samma materialsystem.

Ram ( a ) visar den optiska spridningshastigheten för underdopad Bi2212 (Bi2212-UD69) och passar med användning av den maximala entropimetoden (MEM) vid åtta olika temperaturer över Tc , 69 K. Ram ( b ) visar den extraherade elektron-boson-spektraldensiteten funktioner ( I 2 χ ( ω )) med MEM-inversionsprocessen. I insättningen visar vi temperaturberoende topposition för det extraherade I 2 χ ( ω ). I ramar ( c, d ) visar vi respektive temperaturberoende kopplingskonstant ( λ ) och logaritmiskt medelvärdesfrekvens ( ω ln ) för den extraherade I 2 χ ( ω ).

Bild i full storlek

Jämförelse av ungefärliga och fullständiga uttryck för den optiska konduktiviteten

Hittills har vi använt de ungefärliga formlerna 7, 9 (ekv. (3) och ekv. (4)) för att producera teoretiska data och för att analysera både teoretiska och experimentella data med hjälp av den maximala entropi-inversionsprocessen. Därför kan en fråga som man kan ställa vara att om det fulla uttrycket (ekv. (5)) för konduktiviteten 7, 19 (se metodavsnittet ) istället för de ungefärliga formlerna 7, 9 används resultaten och slutsatsen erhållit tidigare fortfarande upprätthålls? För att besvara denna fråga utförde vi följande studie. Först jämför vi de optiska spridningshastigheterna som erhålls med användning av både ungefärliga och fullständiga uttryck vid olika temperaturer för de två modellinmatningen (enstaka och dubbla gaussiska) I 2 χ ( ω ) fall. De resulterande optiska spridningshastigheterna för de två enskilda och dubbla Gauss- I2 ' ( ω ) fallen visas i fig. 7 (a, b). Vid låga temperaturer under 100 K överensstämmer de två optiska spridningshastigheterna som erhålls med hjälp av två olika formler (ekvationer (3 och 5)) varandra ganska bra inom ett brett spektralt intervall. Vid 100 K är dessa resultat liknande de från Shulga et al. 7 . När högre temperaturer visar de två spridningshastigheterna signifikanta avvikelser i lågfrekvensområdet under 100 meV och skillnaden blir större när temperaturen ökar.

Ramar ( a, b ) visar de beräknade optiska spridningshastigheterna vid fyra olika temperaturer för de enskilda gaussiska respektive dubbla Gauss-fallen för ingång I 2 ' ( ω ).

Bild i full storlek

Nu extraherar vi elektron-boson-spektraldensitetsfunktionen ( I 2 χ ( ω )) från de optiska spridningshastigheterna som erhålls med det fulla uttrycket med den ungefärliga formeln och den maximala entropi-inversionsprocessen för att se några allvarliga skillnader i de temperaturberoende egenskaperna mellan två optiska spridningshastigheter erhållna med de två olika formlerna. De resulterande passningarna, data och extraherade I 2 χ ( ω ) visas i Fig. 8 (a – d) för både Gaussian I 2 χ ( ω ) fall med enkel och dubbel inmatning. För det enskilda Gauss-fallet blir anpassningskvaliteten sämre när temperaturen ökar och extraherad I 2 χ ( ω ) visar en enda topp belägen vid en liknande toppfrekvens för ingången I 2 χ ( ω ). Vi beräknade också kopplingskonstanten ( λ ) och den logaritmiskt genomsnittliga frekvensen ( ω ln ) (se ekv. (1)) från det extraherade I 2 χ ( ω ) och visade dem som temperaturfunktioner i insatserna i fig. 8 (b, d). Intressant nog visar båda kvantiteterna små temperaturberoenden: ± 0, 3% av det genomsnittliga 1, 02 för λ och ± 0, 7% av det genomsnittliga 62, 48 meV för ω ln . De absoluta värdena ( λ

1.02 och

62, 48 meV) liknar dem ( λ

1, 05 och

59, 25 meV) i fig. 4 (a, b); medan kopplingskonstanterna visar ~ 3% lägre än de i fig. 4 (a) visar de genomsnittliga frekvenserna ~ 5% högre än de i fig. 4 (b). För det dubbla Gauss-fallet är passningsegenskaperna för alla temperaturer ganska bra. Men de extraherade I 2 χ ( ω ) -funktionerna visar vissa skillnader jämfört med ingången I 2 χ ( ω ), särskilt för 300 K; vid denna temperatur löses de två topparna inte bra. Intressant nog visar kopplingskonstanten och den genomsnittliga frekvensen fortfarande små temperaturberoenden (± 0, 2% av det genomsnittliga 1, 51 för λ och ± 2, 6% av det genomsnittliga 78, 18 för ω ln ) även om de absoluta värdena ( λ

1, 51 och

78, 18 meV) skiljer sig något från dem ( λ

1, 68 och

76, 40 meV) i fig. 4 (a, b). Medan kopplingskonstanterna visar ~ 10% lägre än de i fig. 4 (a) visar de genomsnittliga frekvenserna ~ 2% högre än de i fig. 4 (b). Denna studie gör det möjligt för oss att få en slutsats att de två robusta mängder som erhålls med den maximala entropi-inversionsprocessen med antingen ungefärlig eller full formel visar små temperaturberoenden även om deras absoluta värden kan vara något annorlunda än de verkliga. Med andra ord förväntar vi oss att tillämpningen av endera formeln på uppmätta experimentella data kommer att leda till samma slutsats så länge vi tar hänsyn till de temperaturberoende intrinsiska egenskaperna.

Ramar ( a, c ) visar data och resulterande anpassningar för de enskilda och dubbla Gaussiska fallen för ingång I 2 χ ( ω ). Ramar ( b, d ) visar extraherade motsvarande I 2 χ ( ω ) med den maximala entropiprocessen för de två fallen av ingång I 2 χ ( ω ).

Bild i full storlek

Slutsats

Vi undersökte en fråga om det finns några inneboende temperaturberoende trender i I 2 χ ( ω ) extraherade från uppmätta optiska spridningshastigheter med hjälp av den maximala entropi-inversionsprocessen. Från modellberäkningar lärde vi oss att temperatursprutning (eller termisk breddning) i det utvunna I 2 χ ( ω ) kan uppstå när kvaliteten på passningar inte var tillräckligt bra. Denna temperaturutsmetning kan orsaka toppförskjutningar (eller omfördelningar av spektralvikten) för ingången I 2 χ ( ω ) som består av två identiska (eller dubbla) Gaussiska toppar. Vi fann också att kopplingskonstanten ( λ ) och den logaritmiskt genomsnittliga frekvensen ( ω ln ) är ganska robust för kvaliteten på passningar och dessa mängder kan användas för att bedöma förekomsten av inneboende temperaturberoende egenskaper i det extraherade I 2 χ ( ω ). Dessa två kvantiteter har också viktiga fysiska betydelser: kopplingskonstanten visar intensiteten för elektron-elektroninteraktion genom att utbyta de medierade bosonerna och den genomsnittliga frekvensen är nära besläktad med den supraledande övergångstemperaturen som kan uppskattas med den generaliserade McMillan-formeln 27, 28 . Vi granskade två Bi-baserade cupratesystem (Bi2212-OPT96A och Bi2212-UD69) för att se inneboende temperaturberoende utveckling i den extraherade I 2 χ ( ω ) med den maximala entropimetoden. Från dessa studier drar vi slutsatsen att dessa två cupratesystem har inneboende temperaturberoende utveckling eftersom kopplingskonstanten och den genomsnittliga frekvensen uppvisar starka temperaturberoenden som inte kan förklaras med temperatursmörjningseffekten. Vi hoppas att våra fynd lockar uppmärksamhet från forskare inom området superledande och gör ett steg framåt för att ta reda på arten av Cooper-paring-limet för högtemperatur-superledarna.

metoder

Analysformalismer

Allen har erhållit en integrerad ekvation som linjärt hänför sig till elektron-boson-spektraldensitetsfunktionen ( I 2 χ ( ω )) till den optiska spridningshastigheten (1 / τ op ( ω )) eller den imaginära delen av den optiska självenergin (

) för både normala och supraledande tillstånd 5 . Allens ursprungliga formler kan endast användas för T = 0 K och en konstant täthet av tillstånd. En generaliserad formel, som kan användas för begränsad temperatur och normal tillstånd med en konstant densitet av tillstånd, har härledts av Shulga et al. 7 . Shulga et al. formel kan skrivas på följande sätt:

där 1 / t op ( ω , T ) är den optiska spridningshastigheten som kan relateras till den imaginära delen av den optiska självenergin som

, I2 ' ( ω , T ) är spektraldensitetsfunktionen elektron-boson, och 1 / t imp är föroreningsspridningen. Vi noterar att K ( ω , Ω, T ) är Shulga et al. kärna som innehåller temperaturfaktorn 7 . Vi använde Eq. (3) för att erhålla de optiska spridningshastigheterna vid utvalda temperaturer från de ingående elektron-boson-spektraldensitetsfunktionerna och även för att extrahera elektron-boson-spektraldensitetsfunktioner från de beräknade optiska spridningshastigheterna med användning av en maximal entropimetod 10, 29, 30 .

Generaliserad kärna för Allens formel

För att analysera underdopade cuprates, som har de spännande pseudogaps 21, måste man inkludera pseudogap (eller icke-konstant densitet av tillstånd) i modellen. En generaliserad Allens formel, som kan ta hand om pseudogaps, härleddes av Sharapov och Carbtte 9 . Kärnan i den generaliserade Allens formel kan skrivas på följande sätt:

där n B och nF är fördelningsfunktionerna Bose-Einstein respektive Fermi-Dirac, som tar hand om temperaturberoenden, och

är den symmetri-serade elektroniska densiteten för tillstånd ( N ( ω )), dvs.

, som tar hand om alla energiberoende i tätheten av tillstånd inklusive pseudogaps. För att extrahera I 2 ' ( ω , T ) av den underdoperade kupraten från uppmätt 1 / τ op ( ω , T ) använde vi kärnan i ekv. (4) och en maximal entropimetod 10, 29, 30 .

Fullt uttryck för den optiska konduktiviteten

De tidigare formlerna (ekv. (3) och (4)) härledda av Shulga's et al. och Sharapov och Carbotte är ungefärliga 7, 9 ; i allmänhet är de giltiga vid höga frekvenser, dvs 1 / [ ωτ op ( ω )] ≪ 1. Shulga et al. visa att dessa formler är giltiga i ett bredare frekvensområde vid 100 K 7 . Det fulla (icke-ungefärliga) uttrycket 7, 19 för den optiska konduktiviteten kan skrivas enligt följande:

var

är den komplexa optiska konduktiviteten, ωp är plasmafrekvensen, 1 / t imp är föroreningsspridningshastigheten,

är ett komplext konjugat av

, och

är den enskilda partikelens självenergi, som kan skrivas enligt följande 31, 32 :

where ψ ( x ) is the digamma function.

Maximum entropy method

We used the maximum entropy inversion process introduced by Schachinger et al. 10 to extract the electron-boson spectral density function from the optical scattering rate. We briefly introduce the maximum entropy method here. The maximum entropy method is based on the Bayes' theorem which provides the only consistent bridge between indirect (or posterior) and direct (or likelihood) probabilities 30 . The theorem can be described as follows:

where H stands for the hypothesis which we wish to infer, D means the data, and ℵ is any prior knowledge (or available background information), which can be the theoretically modeled kernel K ( ω , Ω, T ) and any experimental sources of uncertainty 10 . P ( H | D , ℵ ) is the posterior probability distribution function (pdf), P ( D | H , ℵ ) is the likelihood pdf, P ( H | ℵ ) is the prior pdf, and 1/ P ( D | ℵ ) is a normalization factor. In the maximum entropy method the appropriate prior for a positive and additive distribution can be of a special form as

where H [ f ] is the hypothesis functional of f , f is positive and additive in our case, and α is a dimensionless parameter (initially unknown). S is the generalized Shannon-Jayes entropy which can be written as follows:

where f ( x ) needs to be estimated with the highest probability through the maximum entropy process, m ( x ) is a default model, which is usually taken to be a constant. In principle, data are independent each other and are subject to additive Gaussian noise. Then the likelihood pdf can be written as

where χ 2 is the misfit, which measures how well a trial (or hypothesis) functional of f (or H [ f ]) fits to the data ( D ). The [ χ ( f )] 2 can be written as follows:

where N is the number of data and σ is an adjustable input parameter which is a measure of fitting quality. We call the σ as the misfit parameter. Then using Eqs (8) and (10) the posterior pdf (or Eq. (7)) for f can be written as follows:

Then the distribution which maximizes this posterior pdf (ie αS ( f , m ) − [ χ ( f )] 2 /2) through a general algorithm provided by Skilling et al. 33 will give best estimate of f . In our case the data is the optical scattering rate, ie D k = 1/ τ op ( ω k ), the hypothesis is the calculated optical scattering rate using a trial function f ( ω i ) = I 2 χ ( ω i ), ie

, and m ( ω i ) is initially a constant, which means that we do not impose any particular structure (or shape) to the initial input I 2 χ ( ω ). But this initial condition may cause broadening in resulting I 2 χ ( ω ). In our maximum entropy process we iterated the process with an input value of the misfit parameter ( σ ) until we reach a criterion 10, 30, χ 2 = N , where N is the number of data, then the α parameter is determined automatically. Eventually, we extracted the most probable f ( ω ) = I 2 χ ( ω ) and calculated the corresponding hypothesis (or the fit)

under the given condition ( σ ) for the optical scattering rate data (1/ τ op ( ω )) at each temperature.

One can obtain smoothness of trial function f ( x ) = I 2 χ ( x ) by introducing a hidden image, h ( x ), which is blurred by a Gaussian as follows 10 :

where b is the blur-width which is a hyperparameter and can be determined simultaneously with α by maximizing P ( H [ f , h ]| D , ℵ, α , m ). Here f ( x ) gets into the likelihood pdf (Eq. (10)) while h ( x ) gets into the entropy S (Eq. (9)). For our maximum entropy process we do not apply a blur value ie b = 0, which means that all positive discrete f ( x i ) can be realized as f ( x i ) = h ( x i ). We note that the interval between two consecutive discrete frequency variables is 1.0 meV.

kommentarer

Genom att skicka en kommentar samtycker du till att följa våra villkor och gemenskapsriktlinjer. Om du finner något missbruk eller som inte överensstämmer med våra villkor eller riktlinjer ska du markera det som olämpligt.