Insikter genom mått | naturfysik

Insikter genom mått | naturfysik

Anonim

ämnen

  • Tillämpad fysik
  • Atom- och molekylfysik
  • Vätskedynamik
  • Vetenskapligt samhälle

Dimensionell analys är ett kraftfullt verktyg för att utvärdera fysiska problem, bekräftar Tina Hecksher

Om det presenteras en ekvation där tid och längd läggs till, vet vi omedelbart att ekvationen inte kan vara korrekt - den är djupt kodad i en fysikares DNA att det bara är meningsfullt att lägga till termer av samma dimension. Vi har dock tillåtet att multiplicera eller dela olika mängder och erhålla nya härledda kvantiteter genom att göra det. Om till exempel längd l delas med tiden t får vi en ny kvantitet, l / t , hastighet. Vilka kvantiteter som anses vara grundläggande och vilka härleds är en fråga om konvention och bekvämlighet snarare än en naturlag 1, 2 .

I fysikklasser lärs man att inkludera enheter vid utvärdering av formler med värden och att alltid kontrollera att enheterna fungerar rätt i ekvationer. På så sätt upptäcker vi lätt om vi glömde att kvadratera en term någonstans eller om siffrorna vi anslöt till vår ekvation anges i olika enheter och behöver en numerisk korrigering. Även om många (icke-fysiker) forskare kanske inte uppskattats som sådana, är detta den enklaste tillämpningen av dimensionell analys.

Image

Bild: NIELS BOHR ARCHIVE, COPENHAGEN

En mer avancerad användning är att skriva om ekvationer i termer av de karakteristiska mängderna av den beskrivna fysiska situationen, ibland kallad "icke-dimensionella" ekvationer. Detta är användbart när man bedömer vilka termer i en differentiell ekvation som är viktiga. Ett enkelt exempel på detta är ekvationen som beskriver en kropps frie fall: d 2 z / d t 2 = g , där g är gravitationsaccelerationen som känns nära jordens yta och z är kroppens höjd. Det finns två initialvärden: kroppens initiala hastighet v 0 och dess initiala höjd z 0 . Definiera måttlösa variabler i termer av dessa parametrar,

Image
och
Image
, lägger differensekvationen
Image
, där höger sida är måttlös. Att skriva ekvationen på detta sätt ser vi att det egentligen bara finns en parameter i problemet; fördubbling av den initiala hastigheten kan balanseras genom att öka zO med en faktor på fyra för att ge exakt samma bana i måttlösa enheter. I själva verket är detta måttlösa nummer ett exempel på det så kallade Froude-talet som används i fluiddynamik,
Image
.

Den mest kraftfulla användningen av dimensionell analys är för att förutsäga hur resultatet av ett experiment beror på variablerna och samtidigt ge teoretisk insikt. Receptet för att göra detta är följande: skapa en lista över alla kvantiteter som svaret måste bero på, skriv sedan upp dimensioner på dessa kvantiteter och slutligen kräva att dessa mängder kombineras till en funktionell form som ger rätt dimension. Detta schema kastades in i en formell ram av Buckingham 1921 och benämns ofta Buckingham π-teorem 3 .

Dimensionella argument har använts av några av de största fysikerna. Niels Bohr (bilden) baserade på sin seminaldokument om atomen som förklarade vätets absorptionsspektra på bilden: "Genom införandet av denna mängd [Plancks konstant] frågan om den stabila konfigurationen av elektroner i atomerna ändras väsentligen, eftersom denna konstant är av sådana dimensioner och magnitud att den, tillsammans med massan och laddningen av partiklarna, kan bestämma en längd av den storleksordning som krävs. ”Bohr konstaterade att elektrodynamik ensam inte kunde förutsäga storleken på en atom. Men införandet av Plancks konstant gav rätt storlek - Bohr-radien.

Om vi ​​skulle härleda Bohr-radien från dimensionell analys idag, skulle vi hävda att de relevanta fysiska mängderna är elementärladdningen e och vakuumpermitiviteten ɛ 0, eftersom atomen involverar interagerande laddningar; elektronens massa, eftersom det är elektronen som kretsar kring den mycket tyngre kärnan; och slutligen Plancks konstant h , för vi vet att i liten skala av atomenergin kvantiseras. Dessa mängder kan kombineras på ett unikt sätt för att ge en längd: a = C ( ɛ 0 h 2 ) / ( e 2 m e ). Dimensionell analys ger svaret upp till en måttlös konstant C , men ställer C = 1 och ansluter siffrorna kommer vi till a = 1, 7 Å.

Rayleigh var en annan entusiastisk förespråkare för dimensionell analys (som han kallade "principen om likhet") och gav många fler exempel på fysisk insikt som erhållits genom dimensionell analys 5 . Men konceptet är inte begränsat till fysik: det finns ett snyggt bevis på Pythagoras teorem på grund av Einstein som bygger på dimensionell resonemang 6 .

Dimensionell analys kan komma över som att bara försöka anpassa bitar av ett pussel efter prov och fel. Att identifiera de mängder som är relevanta för ett givet problem är dock en krävande uppgift som kräver djup fysisk insikt. Så, "av dimensionella skäl" är ett giltigt argument i fysiken, och dimensionell analys förtjänar verkligen en plats i vilken fysiker som helst.