Hur överflödiga virvelknutar lossar | naturfysik

Hur överflödiga virvelknutar lossar | naturfysik

Anonim

ämnen

  • Bose – Einstein kondenserar
  • Vätskedynamik
  • Fysik

Abstrakt

Knutar och länkar förekommer ofta i fysiska system, inklusive skakade trådar av rep 1 och DNA (ref. 2), såväl som den mer subtila strukturen av virvlar i vätskor 3 och magnetfält i plasma 4 . Teorier om vätskeflöden utan spridning förutspår att dessa trassliga strukturer kvarstår 5, vilket begränsar utvecklingen av flödet ungefär som en knut bunden i en skosnör. Denna begränsning ger upphov till en bevarad mängd känd som helicity 6, 7 och erbjuder både grundläggande insikter och lockande möjligheter för att kontrollera komplexa flöden. Men till och med små mängder avspridning gör att knop kan lossas med hjälp av "skära-och-splits" -operationer, kända som återanslutningar 3, 4, 8, 9, 10, 11 . Trots den potentiella grundläggande rollen för dessa återanslutningar i att förstå helicitet - och stabiliteten hos knutna fält mer generellt - är deras effekt känd endast för en handfull enkla knutar 12 . Här studerar vi utvecklingen av 322 elementära knop och länkar i Gross – Pitaevskii-modellen för en överflödig, och finner att de universellt förenar sig. Vi observerar att centreline helicity är delvis bevarad även när knutarna lossnar, en rest av den perfekta helicity bevarande som förutses för idealiserade vätskor. Dessutom finner vi att de topologiska vägarna för att lossa knutar har enkla beskrivningar i termer av minimala tvådimensionella knutdiagram och tenderar att koncentrera sig i tillstånd som är vridna i en enda riktning. Dessa resultat har direkta analogier till tidigare studier av enkla knop i flera system, inklusive DNA-rekombination 2 och klassiska vätskor 3, 12 . Denna likhet i den geometriska och topologiska utvecklingen antyder att det finns universella aspekter i beteende hos knutar i dissipativa fält.

Huvudsaklig

Att knyta en knut har länge varit en metafor för att skapa stabilitet, och av goda skäl: att ta bort en gemensam knuten sträng kräver antingen sax eller en komplicerad serie drag. Denna uthållighet har viktiga konsekvenser för filamentösa fysiska strukturer som DNA, vars uppförande förändras av knop och länkar 9, 13 . En analog effekt kan ses i fysiska fält, till exempel magnetfält i plasma eller virvlar i vätskeflöde; i båda fallen lossnar knutarna aldrig i idealiserade modeller, vilket ger upphov till nya konserverade mängder 6, 14 . Samtidigt finns det många exempel på att tvinga verkliga (icke-ideala) fysiska system får dem att knutas: virvlar i klassisk eller överflödig turbulens 15, 16, magnetfält i solkorona 4 och defekter i kondenserade faser 10 . Detta innebär en svårighet: varför fastnar inte allt i ett trassligt nät, precis som hörlurar i en ficka 1 ?

I alla dessa system tillåter "återanslutningshändelser" fält att lossa genom att klippa och skarva i närheten linjer / strukturer i närheten (fig. 1a; ref. 3, 4, 8, 9, 10, 11). Som ett resultat beror balansen mellan knutlighet och dess grundläggande roll som en begränsning för utvecklingen av fysiska system kritiskt av att förstå om och hur dessa mekanismer får knutar att lossna.

a, Schematiskt en virvelåteranslutningshändelse, i detta fall konverterar en trefoilknut (K3-1) till ett par länkade ringar (L2a1). b, En "ideal", eller minimalt replängd, knopp med trefolie. c, Användning av centrelinjen för en idealknut ger en jämn, enhetlig geometri för alla knutar eller länk; närliggande strängar är exakt på avstånd från repets diameter, d rep, som blir den karakteristiska radien, r0 , för öglorna som består av knuten. d, Exempel på idealkonfigurationer av topologier med olika minimalt korsningsnummer, n . Antalet topologier exklusive speglade par anges i fyrkantiga parenteser. e, En 2D-skiva i fasfältet för en superfluid ordningsparameter med en knuten virvellinje (ljusblå). f, Exempel på minimala knutdiagram; i båda fallen kan topologin inte representeras av ett enklare plant diagram. Kiraliteten för varje korsning indikeras.

Bild i full storlek

Tidigare studier av utvecklingen av knutna fält har begränsats till relativt enkla topologier eller idealiserad dynamik 3, 9, 17, 18 . Här rapporterar vi om en systematisk studie av beteendet hos alla främsta topologier upp till nio korsningar genom att simulera isolerade kvantvirvelknutar i Gross – Pitaevskii-ekvationen (GPE, ekvation (1)). Kvantmotstycket för rökringar i luften, virvlar i superfluider eller superledare är linelliknande fasfel i kvantordningens parameter,

, där ρ och φ är den rumsligt varierande densiteten och fasen (fig. 1e). GPE är ett användbart modellsystem för att studera topologisk virveldynamik: virvellinjer kan lätt identifieras, återanslutningar inträffar utan skillnader i fysiska mängder, och beteendet hos enkla knutar visades nyligen vara jämförbart med viskösa vätskeexperiment 12 .

I en icke-dimensionell form ges Gross – Pitaevskii-ekvationen med 19 :

där i dessa enheter den kvantiserade cirkulationen runt en enda virvellinje ges av: Γ = ∮ d ℓ ⋅ u = 2π. GPE har en karakteristisk längdskala, känd som 'läkningslängd', which , som motsvarar storleken på det täthetsutarmade området runt varje virvelkärna ( ξ = 1 i våra icke-dimensionella enheter om bakgrundsdensiteten är ρ 0 = 1).

Att producera en knuten virvel i en överflödig modell kräver beräkning av en rymdfyllningskomplexfunktion vars fasfält innehåller en knuten defekt. Detta utmanande steg har begränsat tidigare studier till en familj av knop i en specifik geometri 8 . Genom att numeriskt integrera flödesfältet i en klassisk fluidvirvel producerar vi fasfält med defekter (virvlar) av vilken topologi eller geometri 12 som helst (fig. 1e och kompletterande film 1), vilket gör det möjligt för oss att studera utvecklingen av varje huvudknut och koppla till nio eller färre korsningar, n ≤ 9.

För att konstruera initiala former för de olika topologierna börjar vi med den "ideala" formen för varje knut, motsvarande formen på den kortaste knuten som är bunden i ett rep med tjocklek r 0 (Fig. 1b – d; ref. 20). Dessa kanoniska former är kända för att fånga viktiga aspekter av knuttypen samt ungefärliga medelegenskaperna för slumpmässiga knop 21 . För varje idealform betraktar vi tre olika övergripande skalningar med avseende på läkningslängden: r 0 / ξ = {15, 25, 50}. För att bryta eventuella symmetrier i formen och för att kontrollera om våra resultat är robusta överväger vi också fyra slumpvis förvrängda versioner av varje knut med n ≤ 8 i en skala från r 0 = 15 ξ (se Metoder för en detaljerad beskrivning av konstruktionen).

Figur 2a och kompletterande film 2 visar utvecklingen av en 6-korsande knut, K6-2, när den förknippas. (Vi märker länkar och knutar med hjälp av en generaliserad notation efter 'Knot Atlas', //katlas.org.) Det kan ses att knuten deformeras mot en serie av virvelåteranslutningar som gradvis förenklar knuten tills endast obundna ringar (unknots) återstår . Detta beteende har tidigare observerats för en handfull enkla knutar och länkar; här hittar vi samma beteende i alla de 1 458 simulerade virvelknutarna. Vi noterar vidare att under utvecklingen av någon tillräckligt komplex knut framställs starkt förvrängda former av enklare virvelknutar, som alla i sin tur uppvisar en likadannad dynamik som deras mer idealformade motsvarigheter.

a, Avkopplingen av en slumpvis förvrängd 6-korsande knut (K6-2, r 0 = 50 ξ ) till en samling av oknutna ringar. Återkalkad tid, t ′ = t × Γ / r 0 2, visas för varje steg. Den övre sektionen visar iso-ytor av densitet för den lokala ordningsparametern (röd, | ψ | 2 = 1/2) och de transparenta ytorna (kricka eller lila) visar en iso-yta med konstant fas. Varje volym har centrerats på virveln, som annars skulle ha en vertikal netto-rörelse; endast 48% av simuleringsvolymen visas. b, Fraktionen av simuleringar som har kopplats upp / kopplats samman som en funktion av tiden, beräknas för 322 simuleringar av ideala knutar med r 0 = 50 ξ . Medianens obegränsade tid anges med rött. c - e, 2D histogram med relativ längd, virvelenergi och helicity som en funktion av tiden för alla primtopologier med n ≤ 9. De streckade linjerna indikerar medelvärden. Helicitetshistogrammet ( e ) inkluderar endast 269/322 topologierna med h 0 ≥ 1. Se kompletterande figur 2 för liknande histogram för varje simuleringsgrupp.

Bild i full storlek

Vi kvantifierar virveldynamiken genom att beräkna måttlös längd, virvelenergi och helicity, som en funktion av tiden (Fig. 2c – e och Kompletterande Fig. 2, se Metoder för detaljer). Virvelenergin, beräknad från formen av den superfluida fasdefekten, mäter energin associerad med det vortikala flödet, i motsats till ljudvågorna. Den totala kombinerade energin (från virvlar och ljudvågor) bevaras i GPE såvida inte en dissipativ term läggs till; vi inkluderar inte en här.

Den icke-dimensionella "centreline helicity", som - som mäter den totala kopplingen, knutningen och spiralen i fältet - ges av 6, 7, 12, 22 :

där Lk ij är kopplingsnumret mellan virvellinjerna i och j , och Wr i är 3D-vridningen av linje i , som inkluderar bidrag från knutning såväl som spiralformade spolar. Observera att helicitet i en klassisk vätska skulle inkludera en term som är proportionell mot vridningen inuti kärnan (se Metoder för en diskussion av twist i sammanhanget med överflödiga kärnor).

Tre allmänna trender kan tydligt urskiljas från våra resultat: tidsskalan för oknotning bestäms främst av den övergripande skalan för knut, r 0 / ξ , där r 0 är reptjockleken för den ideala formen som används för att generera det initiala tillståndet (Fig 3a – d); heliciteten sprids inte bara utan omvandlas snarare från länkar och knutar till spiralspolar, med en effektivitet som beror på skala (Fig. 3e – h); och virvellinjerna sträcker sig med ∼ 20% när de lossnar, även om virvelenergin minskar något. Vi noterar att virvelenergin förändras genom återanslutningar, eftersom en del energi konverteras till ljudvågor (i linje med tidigare observationer av kolliderande ringar 23 ). Intressant nog är alla dessa resultat uppenbarligen i genomsnitt oberoende av knutkomplexiteten: för samma skala lossar r0 enkla knutar lika snabbt som komplicerade, och förlorar samma relativa helicitet och virvelenergi (tilläggsfigur. 3). Vi noterar vidare att dessa resultat också överensstämmer med tidigare resultat för knutar i experimentella viskösa vätskor och Biot – Savart-simuleringar 12, 24 .

Histogram av den omkalkade avtagningstiden ( a - d ) och den obundna kontra initiala heliciteten ( e - h ) för fyra olika grupper av simuleringar: a - c, e - g, Alla 322 ideala knutar med n ≤ 9 i en skala av r 0 = {15, 25, 50} ξ . d, h, Fyra slumpmässigt förvrängda versioner av varje n ≤ 8 idealisk knut med r 0 = 15 ξ och σ = 0, 25 r 0 (492 simuleringar totalt). a - d, Fördelningen av avslutningstider beskrivs väl av en log-normalfördelning (streckad röd linje): P ( t ′) ∝ (1 / t ′) exp [- ((ln t ′ - μ ) 2 / ( 2 σ 2 ))], där den genomsnittliga unknottingtiden är 〈 t 〈〉 ≈ exp μ = {4.0, 3.9, 3.5, 3.7} och spridningen är σ = {0.37, 0.41, 0.44, 0.47} för a - d . e - h, Den slutliga heliciteten är ungefär proportionell mot den ursprungliga heliciteten (röd linje). Graden till vilken helicitet bevaras beror på övergripande skala, men påverkas uppenbarligen endast något av slumpvis snedvriden knutar. (Denna lilla skillnad kan förklaras av att knutarna faktiskt är större från snedvridningen.)

Bild i full storlek

Omvandling av helicity från knutar och länkar till spiralformade spolar har tidigare observerats för trefoilknutar och länkade ringar i klassiska vätskor 12 och kan förklaras genom en geometrisk mekanism. Efter varje återanslutningshändelse produceras spiraler med en längdskala på de återanslutna virvlarna. Om man antar en perfekt antiparallell återanslutning utan någon rumslig avstängning, förväntas denna process exakt spara helicitet 12, 25 . I GPE strålas emellertid spiralformade snedvridningar på skalan av läkningslängden bort som ljudvågor (kompletterande film 4). Som ett resultat observerar vi en genomsnittlig helicitetsförlust med en ungefärlig Δ h / h 0 ∝ ( r 0 / ξ ) −0, 5 trend. Det är anmärkningsvärt att dessa resultat tyder på att när skalan blir mycket stor, r 0 ≫ ξ , bör helicykonservering återvinnas även om knutarna fortfarande lossnar.

Om man antar att koncentrerade vorticitetsfördelningar alltid kommer att utvidgas, har observationen som knyter universellt förband en intuitiv beskrivning. Samlingar av oknöt virvelringar kan skilja sig utan att sträcka enskilda virvellinjer, men en länkad eller knuten struktur måste sträcka sig för att expandera. Samtidigt måste virvellinjerna omorienteras för att spara energi när de sträcker sig: såsom systemet har observerats för enkla knutar, minskar bildningen av tätt åtskilda, antiparallella virvelpar energin per enhetslängd 3 . När sträckningen fortsätter drivs dessa antiparallella regioner närmare varandra tills de slutligen ansluter igen; denna process fortsätter tills knutarna är helt kopplade. Vi noterar att sträckningen i de flesta fall slutar abrupt efter att knutarna har slutat lossna (tilläggsfigur 1), i överensstämmelse med denna tolkning. Intressant nog producerar en sådan bild naturligtvis den antiparallella återanslutningsgeometri som gynnar bevarande av helicitet.

Även om ovanstående resultat visar den överväldigande tendensen för virvelknutar att lossna, belyser de inte de specifika topologiska vägarna som ger denna otvängning. För att mäta dessa icke-knutande sekvenser identifierar vi topologin, T , i virvlarna efter varje återanslutning genom att beräkna deras HOMFLY-PT-polynom 26, 27 . På grund av den höga symmetrinivån för ideala knutar är återanslutningar ofta nästan sammanfallande i tid, vilket förhindrar identifiering av mellan-topologin. För att undvika denna komplikation beaktar vi bara förfall av de slumpvis förvrängda knutarna, som bryter denna symmetri.

Den första frågan vi undersöker är om knuten förenklar sig vid varje steg. Vi kvantifierar knutkomplexiteten med hjälp av korsningsnumret, n , för varje knut i ett minimalt tvådimensionellt (2D) diagram (Fig. 1f), som är en topologisk invariant av knuten. Tilläggstabell 2 visar statistiken över hopp i korsningsnumret genom alla återanslutningar, avslöjande knutar handlar om en storleksordning som är mer benägna att "lossa" (Δ n <0) än "retie" (Δ n > 0) vid varje individ återanslutning. I genomsnitt avlägsnas mer än en korsning med varje återanslutning, vilket understryker det faktum att fysiska återanslutningar av virvlar i 3D inte motsvarar att ta bort (eller lägga till) en enda korsning från ett 2D minimalt knutdiagram. Ändå avslöjar de minimala diagrammen en tydlig trend mot topologisk förenkling.

Om varje återanslutning inte motsvarar "ta bort" en enda korsning från ett 2D-knutdiagram, är det fortfarande möjligt att producera en intuitiv beskrivning av dessa händelser i termer av sådana diagram? Denna fråga kan besvaras genom att beakta den 2D topologiska vriden, w (Ti), som erhålls genom att summera räckvidden (± 1) för varje korsning i ett minimalt knutdiagram (erhållet från ref. 28). Det är anmärkningsvärt att vi finner att de allra flesta (96, 1%) händelser om återanslutning bara lägger till / tar bort korsningar av samma skylt från 2D-diagram, det vill säga | Δ n | = | Δ w | (inklusive händelser med ta bort en enda korsning). Som visas i fig. 4b, c, är återanslutningar som uppfyller detta villkor ekvivalenta med avslappningen av ett parallellt eller antiparallellt par i ett 2D-diagram. För perspektivet med minimala diagram sker avlägsnandet av flera korsningar genom en enda återanslutning i ett antiparallellt par, följt av upplösning av en topologiskt trivial slinga av typ I Reidemeister-rörelser 29, 30 (fig. 4b). Återanslutningar följt av mer komplicerade förenklingar är möjliga (till exempel med Reidemeister-rörelser av typ II); sådana händelser observeras emellertid vara sällsynta.

a, Knutdiagram över en observerad förfallsväg för en 6-korsande knut; alla steg kan beskrivas med lokala otvistrade händelser. Det minimala korsningsantalet, n och topologisk krets, w , är märkt för varje diagram. b, c, Nästan alla återanslutningshändelser kan klassificeras antingen som avkoppling av ett tvinnat par i en antiparallell eller parallell orientering; i båda fallen Δ n = - | Δ w |. Återanslutningar av antiparallella par motsvarar ett avlägsnande av korsningen plus en eller flera typ I-Reidemeister-drag.

Bild i full storlek

Figur 5 och tilläggsfilm 5 visar topologiskt vridnings- och korsningsnummer för varje knut med n ≤ 8, inklusive icke-primära topologier, anslutna med linjer som indikerar frekvensen för de observerade oknutna vägarna. (Detta liknar diagram som tidigare har konstruerats för matematisk knutförenkling av en annan typ 31. ) Förutom att illustrera ovanstående resultat avslöjar detta diagram vikten av de 'maximalt kirala' topologierna, för vilka | w | = n . Den topologiska vridningen för varje speciell knut eller länk begränsas av antalet korsningar; maximalt kirala knutar och länkar mäter denna bundna, vilket motsvarar varje korsning som har samma tecken.

Kvadraterna anger det totala antalet topologier vid varje punkt, inklusive icke-primära länkar / knop; fem exempel på topologier visas ovan. Fyra slumpmässigt förvrängda kopior av varje n = 8 huvudlänk / -knut används som utgångspunkter (markerade med vita prickar; endast en räckvidd av kirala topologier beaktas). Gröna och blå linjer indikerar återanslutningar som minskar korsningsantalet, medan röda linjer visar händelser som ökar korsningsantalet. Det lätt skuggade området indikerar maximalt kirala topologier.

Bild i full storlek

Trots att endast cirka en tredjedel av alla n ≤ 8 topologier är maximalt kirala slutar 82, 6% av hopp i ett sådant tillstånd. Den här banans dominans har en enkel tolkning: om vi antar att alla återanslutningar uppfyller | Δ n | ≥ | Δ w |, motsvarande en lutning av | Δ n / Δ w | ≥ 1 i fig. 5, så snart virvelknuten avtar till en maximalt chiral topologi kan den lämna ett sådant tillstånd endast genom att öka dess korsningsantal. (Även om iakttagelsen att | Δ n | ≥ | Δ w | verkar självklart när man överväger minimala korsningsdiagram, är vi inte medvetna om ett bevis på detta förhållande. Ändå observerar vi aldrig återanslutningar som bryter mot det.) Faktiskt på grund av "klyftan" mellan maximalt och icke-maximalt kirala tillstånd, måste korsningsantalet öka med Δ n ≥ +2 för att lämna den maximala kirala grenen. Dessutom, även i händelse av att korsningsantalet ökar med detta belopp, observerar vi att det fortfarande normalt kvarstår på den maximala kirala grenen. Statistiskt sett är de flesta knutar trattade in i en maximalt chiral väg under deras avtagning, varefter de förstörs endast längs denna väg.

Vår observation av en föredragen maximalt chiral väg är en generalisering av ett tidigare känt resultat för platsspecifik rekombination av DNA-knop: vilken p = 2 torusknut / länk (som alla är maximalt chiral) kan omvandlas till en annan p = 2 torusknut av medel för återanslutningar endast om korsningsnumret minskar 2 . Våra resultat indikerar att denna torusknutväg är ett exempel på ett mer allmänna fenomen. Intuitivt tyder detta på att osmörjande knutar tenderar att hamna i tillstånd som är vridna i bara en kiral riktning.

Sammantaget finner vi att det topologiska beteendet hos överflödiga virvelknutar och länkar kan förstås genom enkla principer. Alla virvelknutar lossnar, och de tenderar att göra det effektivt: att monotont minska deras korsningsnummer tills de är en samling av oknöt virvlar. Detta antyder att icke-trivial virveltopologi i superfluider - eller någon vätska med liknande topologisk dynamik - endast bör uppstå från extern körning. Även i närvaro av körning indikerar de observerade förfallsvägarna att virvlar troligen skulle sätta sig in i en maximalt chiral topologi; det skulle vara av stort intresse att söka efter sådana tillstånd i överflödig eller klassisk turbulens.

Utvecklingen och avkopplingsdynamiken hos de överflödiga knutarna som vi observerar påminner starkt om dem i klassiska vätskor och DNA-rekombination 2, 3, 12 . Dessa likheter kvarstår trots grundläggande skillnader mellan dessa system, särskilt när det gäller småskaliga detaljer i återanslutningsprocesserna som driver topologiförändringar. Detta tyder på att de kan tillämpa ännu mer allmänt och bilda en universell uppsättning mekanismer för att förstå utvecklingen av knutar i en mängd olika fysiska system.

metoder

Simuleringsdetaljer.

Tidsutvecklingen av parametern superfluid order bestämdes genom att numeriskt integrera Gross – Pitaevskii-ekvationen med hjälp av en split-steg-spektral metod längs linjerna i ref 8, 12. För simuleringar med medelradie r 0 / ξ = {15, 25} använder vi en rutstorlek på Δ x = 0, 5 ξ , ett simuleringstidssteg på Δ t = 0, 02 och sparar spårade virvelvägar med ett intervall av Δ T = 1. För simuleringar med r 0 = 50 ξ beräknar vi en grovare simulering med Δ x = 1 ξ , Δ t = 0, 1 och Δ T = 4. Det radiella avståndet från virvlarna där ordningsparametern är, | ψ |, återhämtar sig till hälften av dess fältfältvärde (ofta benämnd 'kärnstorlek') bestäms av läkningslängden och är ungefär R ∼ 2 ξ . Ett litet antal simuleringar av samma storlek knut i olika upplösningar (Δ x / ξ = {0, 25, 0, 5, 1}) användes för att bekräfta att grovare simuleringar inte påverkar den beräknade längden och heliciteten hos virveln eftersom den förenar (bullret i dessa beräknade mängder ökar, men vi observerar inte systematiska skillnader). Den totala storleken på den periodiska simuleringsrutan var L / ξ = {128, 192, 384} för r 0 / ξ = {15, 25, 50}. Ibland interagerar små virvelringar som matas ut från de lossande virvlarna med sina periodiska partner genom att korsa gränsen; i allmänhet händer detta först efter att virvlarna har kopplats. För att säkerställa att lådans storlek inte påverkar knutens beteende har vi simulerat samma knut i flera olika storlekstider. vi upptäcker att knutens beteende är praktiskt taget identiskt så länge det är åtskilt mer än några få r 0 från dess periodiska partner (i praktiken har de mest komplexa knutarna en maximal utsträckning på endast ungefär hälften av kanten på simuleringen låda).

Vi noterar att vi använder en version av GPE utan spridning, och därför sparas den totala energin. Numeriskt finns det en liten förlust (alltid mindre än 1 % och vanligtvis mindre än 0, 2 % ), vilket inte är signifikant för något av våra resultat. Vi inkluderar också en kemisk potential på μ = −1 (i måttlösa enheter) i vår definition av GPE; detta läggs till för att ta bort en total fasrotation. Att ta bort denna ytterligare term skulle ge matematiskt identiska resultat, eftersom den totala fasen inte är fysiskt signifikant.

Inledande tillståndskonstruktion.

Fasfälten för de initiala tillstånden genererades genom brute-kraftintegration av ett Biot – Savart-genererat flödesfält, u BS, som är relaterat till fasgradienten genom förhållandet:

Denna metod beskrivs mer detaljerat i ref. 12. Ett exempel på ett inledande fasfält visas i fig. 1e och kompletterande film 1.

Det initiala täthetsfältet, ρ = | ψ | 2, beräknades med användning av en ungefärlig form erhållen för en oändlig, rak virvelinje 32 :

där r ansågs vara avståndet till den närmaste virvellinjen.

För att säkerställa överensstämmelse mellan olika topologier väljer vi den "ideala" formen för varje knut, vilket motsvarar formen på den kortaste knuten som är bunden i ett rep med begränsad tjocklek (Fig. 1b – d; ref. 20). Dessa kanoniska former är kända för att fånga in aspekter av knuttypen såväl som att ungefärliga genomsnittliga egenskaper hos slumpmässiga knop 21, vilket gör dem till en användbar referensgeometri för varje topologi. Formerna av ideala knutar för olika topologier erhölls från en onlinekälla (//katlas.math.toronto.edu/wiki/Ideal_knots) och genererades initialt med hjälp av SONO-metoden 20 .

För att skapa slumpmässigt förvrängda knutar beräknar vi en slumpmässigt normalt distribuerad vektor, 5, för varje punkt i en polygonal representation av virvelknuten i fråga. Vi jämnar sedan ut denna vektor med en gaussisk med bredd σ = 0, 5 r 0 (mätt längs banan för den ursprungliga virvellinjen), tar bort komponenten tangentiell till den ursprungliga knutbanan och raderar förskjutningsvektorn så att 〈| 5 | 2 ' = (0, 25 rO ) 2 . Denna förskjutning läggs till de ursprungliga koordinaterna för att erhålla den förvrängda knuten. Exempel på slumpmässigt förvrängda knutar visas i fig. 2a och insatsen i fig. 3d. För de data som visas i papperet betraktades fyra slumpmässigt störda kopior av varje n ≤ 8 knut / länk (4 × 123 konfigurationer) i en skala av r 0 = 15 ξ . Ett litet antal slumpmässigt förvrängda knutar vid större skalor övervägs, vilket gav kvalitativt liknande effekter till skalningen av icke-förvrängda idealknutar.

Kvantifiering av virvelbeteende.

För varje sparat tidssteg erhålls en polygonal representation av virvelformen genom att spåra fasfel i den superfluid ordningsparametern med en upplösning inställd av simuleringsnätet (vilket normalt resulterar i ≳ 10 3 poäng totalt). Dessutom är en fas normal,

, beräknas för varje punkt på virveln genom att hitta riktningen för nollfasen som är vinkelrätt mot virvelvägen. Alla efterföljande egenskaper (virvelenergi, helicitet och längd) beräknas från denna väg.

För att bestämma det ögonblick som en knut slutför att lossa, hittar vi det ögonblick då dess HOMFLY-PT-polynom är ekvivalent med unknots (se 'Identifiering av Vortex Topology' nedan). Ett histogram av oknotningstiderna, Fig. 3a – d, överensstämmer med en log-normalfördelning. Vi upptäcker att när tiden väl har beräknats på nytt är de genomsnittliga oknotningstiderna för varje simuleringsgrupp inom området 〈 t unknot 〉 ≈ (3, 5 - 4, 0) r 0 2 / Γ ( r 0 är diametern på 'repet' i vilket den ideala knuten är bunden).

Som nämnts i huvudtexten, beräknar vi centreline helicity i den dimensionlösa formen:

Även om detta kan beräknas direkt från de polygonala vägarna, kräver denna metod särskilda överväganden för att hantera länkar över periodiska gränser. Alternativt kan vi notera att en yta med konstant fas definierar en "Seifert-ram" för varje knut / länk som följer h + ∑ i Tw φ , i = 0 (ref. 22), där Tw φ , i är vridningen av fasen normal om virvelvägen:

var

hänvisar till stängd virvelväg i , ∂s är ett banlängderivat och

är en enhetsvektor som ligger längs en yta med lika hög fas och är vinkelrätt mot virvellinjens tangentvektor vid den punkten. Eftersom den totala vridningen lätt kan integreras numeriskt från virvelvägen och fasnormal, tillhandahåller den en effektiv metod för beräkning av centrelinjehelicitet. Vi har numeriskt bekräftat att den här metoden ger resultat som är lika med direkt beräkning av länk och vridning, upp till numerisk precision.

Energin associerad med virvlarna i det överflödiga (i motsats till ljudvågor), E , beräknas utifrån 'baninduktans' 3,

av virvelcentrallinjerna:

där L i är den totala längden på virvel loop i .

Här är α ≅ 1.615 en måttlös korrigeringsfaktor som väljs för att erhålla rätt värde för energin i en virvelring i GPE (ref. 33). För att redogöra för simuleringernas periodiska karaktär inkluderas korsinduktansen för en periodisk 3 × 3 × 3 period av virvelvägar (inklusive fler periodiska kopior förbättrar beräkningens noggrannhet, men skillnaden är vanligtvis bara en liten bråkdel av en procent). Observera att den totala energin i överflödet bevaras, så en minskning av virvelenergi motsvarar en ökning av energin i ljudvågor. Den stora majoriteten av energiförändringar i virvlarna ses att inträffa under eller omedelbart efter händelser om återanslutning; annars är den beräknade energin nästan konstant.

Identifiering av virvel topologi.

För att identifiera topologin hos de överflödiga virvlarna vid varje steg, reduceras först den polygonala virvelrepresentationen till det minsta möjliga antal poäng som möjligt utan att ändra topologin (oknotar tas också bort i detta skede, om de inte gängas av någon annan virvel rader). När väl virvlarna har minskats projiceras de till ett godtyckligt 2D-plan och de projicerade övergångarna och deras räckvidd identifieras; HOMFLY-PT-polynomet skapas direkt från denna korsningslista. Detta polynom jämförs med en internt genererad databas med HOMFLY-PT-polynom för alla topologier (inklusive kirala par, orienterade länkar, och sammanhängande och sammansatta knutar / länkar) med ett minimalt korsningsantal på n ≤ 10. Som nämnts i huvudtexten, vi märker topologier enligt formatet som används av 'Knot Atlas', //katlas.org, till exempel är en 'stevedores knut' K6-1, med 'K' som indikerar att det är en knut (kontra en länk, 'L '), n = 6 är det minsta korsningsnumret (fig. 1f), och resten indikerar en godtycklig ordning.

Databasen för HOMFLY-PT-polynom för primära topologier genererades med utgångspunkt från korsningsdiagrammen erhållna från ref. 28. Ekvivalensen mellan orienterade länkar bestämdes genom att antaga att alla orienteringspermutationer med identiska HOMFLY-PT-polynomer är topologiskt ekvivalenta. HOMFLY-PT-polynomet av osammanhängande och sammansatta topologier beräknades algebraiskt från HOMFLY-PT-polynomema för deras komponenter och lades till listan. Vi behandlar inte konfigurationer med extra unknots för att vara distinkta topologier och skiljer inte mellan osammanhängande och sammansatta topologier. (Vi noterar att osammanhängande knutar sällan observeras i sönderfallsvägarna, och är dessutom svåra att skilja från sammansatta knutar med hjälp av HOMFLY-PT-polynom om oknutor också finns.) Det finns flera knop / länkar med identiska HOMFLY-PT-polynomer för n ≥ 9, men vi stöter inte på något av dessa i de observerade vägarna för knop som börjar med n ≤ 8, som användes för att beräkna sönderfallsvägar.

referenser

  1. 1.

    Raymer, DM & Smith, DE Spontan knutning av en upprörd sträng. Proc. Natl Acad. Sci. USA 104, 16432–16437 (2007).

      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  2. 2.

    Shimokawa, K., Ishihara, K., Grainge, I., Sherratt, DJ & Vazquez, M. FtsK-beroende XerCD-dif rekombination avlänkar replikeringskatenaner på stegvis sätt. Proc. Natl Acad. Sci. USA 110, 20906–20911 (2013).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  3. 3.

    Kleckner, D. & Irvine, WTM Skapande och dynamik av knutna virvlar. Nature Phys. 9, 253–258 (2013).

      • CAS
      • Artikel
      • Google Scholar
  4. 4.

    Cirtain, JW et al. Energiförsörjning i solkorrona från rumsligt löst magnetiska flätor. Nature 493, 501–503 (2013).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  5. 5.

    Thomson, W. På virvelatomer. Philos. Mag. XXXIV, 94–105 (1867).

      • Google Scholar
  6. 6.

    Moffatt, HK Knotthetsgrad hos trassliga virvellinjer. J. Fluid Mech. 35, 117–129 (1969).

      • Artikel
      • Google Scholar
  7. 7.

    Berger, MA Introduktion till magnetisk helicity. Plasma Phys. Kontrollera. Fusion 41, B167 – B175 (1999).

      • CAS
      • Artikel
      • Google Scholar
  8. 8.

    Proment, D., Onorato, M. & Barenghi, C. Vortex knutar i ett Bose – Einstein kondensat. Phys. Rev. 85, 1–8 (2012).

      • CAS
      • Artikel
      • Google Scholar
  9. 9.

    Wasserman, SA & Cozzarelli, NR Biokemisk topologi: tillämpningar på DNA-rekombination och replikering. Science 232, 951–960 (1986).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  10. 10.

    Tkalec, U. et al. Återkonfigurerbara knutar och länkar i chirala nematiska kolloider. Science 333, 62–65 (2011).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  11. 11.

    Bewley, GP, Paoletti, MS, Sreenivasan, KR & Lathrop, DP Karakterisering av återanslutning av virvlar i överflödigt helium. Proc. Natl Acad. Sci. USA 105, 13707–13710 (2008).

      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  12. 12.

    Scheeler, MW, Kleckner, D., Proment, D., Kindlmann, GL & Irvine, WTM Helicitetskonservering genom flöde över skalor vid återanslutning av virvellänkar och knop. Proc. Natl Acad. Sci. USA 111, 15350–15355 (2014).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  13. 13.

    Sumners, D. Lyft av gardinen: använder topologi för att undersöka den dolda effekten av enzymer. Inte. Am. Matematik. Soc. 528–537 (1995).

      • Google Scholar
  14. 14.

    Woltjer, L. Ett teorem om kraftfria magnetfält. Proc. Natl Acad. Sci. USA 44, 489–491 (1958).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  15. 15.

    Moffatt, H. & Ricca, R. Helicity och Calugareanu invarianten. Proc. R. Soc. Lond. A 439, 411–429 (1992).

      • Artikel
      • Google Scholar
  16. 16.

    Barenghi, CF-knutar och oknutna i överflödig turbulens. Milan J. Math. 75, 177–196 (2007).

      • Artikel
      • Google Scholar
  17. 17.

    Dennis, MR, King, RP, Jack, B., O'holleran, K. & Padgett, M. Isolerade optiska virvelknutar. Nature Phys. 6, 118–121 (2010).

      • CAS
      • Artikel
      • Google Scholar
  18. 18.

    Martinez, A. et al. Ömsesidigt trassliga kolloidala knop och inducerade defektöglor i nematiska fält. Nature Mater. 13, 258–263 (2014).

      • CAS
      • Artikel
      • Google Scholar
  19. 19.

    Pitaevskii, LP & Stringari, S. Bose – Einstein Condensation (Clarendon, 2003).

      • Google Scholar
  20. 20.

    Pieranski, P. i Ideal Knots (eds Stasiak, A., Katritch, V. & Kauffman, LH) (World Scientific, 1998).

      • Google Scholar
  21. 21.

    Katritch, V. et al. Knutars geometri och fysik. Nature 384, 142–145 (1996).

      • CAS
      • Artikel
      • Google Scholar
  22. 22.

    Akhmet'ev, P. & Ruzmaikin, A. i Topological Aspects of the Dynamics of Fluids and Plasmas Vol. 218 (red. Moffatt, HK, Zaslavsky, GM, Comte, P. & Tabor, M.) 249–264 (NATO ASI Series, Springer, 1992).

      • Google Scholar
  23. 23.

    Leadbeater, M., Winiecki, T., Samuels, DC, Barenghi, CF & Adams, CS Ljudutsläpp på grund av överflödiga virvelåteranslutningar. Phys. Pastor Lett. 86, 1410–1413 (2001).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  24. 24.

    Ricca, RL, Samuels, D. & Barenghi, C. Evolution av virvelknutar. J. Fluid Mech. 391, 29–44 (1999).

      • Artikel
      • Google Scholar
  25. 25.

    Laing, CE, Ricca, RL & Sumners, DWL Bevarande av vridningssvårigheter under anti-parallell återanslutning. Sci. Rep. 5, 9224 (2015).

      • CAS
      • PubMed
      • Artikel
      • Google Scholar
  26. 26.

    Freyd, P. et al. En ny polynom invariant av knop och länkar. Tjur. Am. Matematik. Soc. 12, 239–246 (1985).

      • Artikel
      • Google Scholar
  27. 27.

    Przytycki, JH & Traczyk, P. Conway algebror och skeva ekvivalens av länkar. Proc. Am. Matematik. Soc. 100, 744–748 (1987).

      • Artikel
      • Google Scholar
  28. 28.

    Cha, JC & Livingston, C. Knot Info: Tables of Knot Invariants (februari 2015); //www.indiana.edu/ ∼ knotinfo

      • Google Scholar
  29. 29.

    Reidemeister, K. Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg Vol. 5, 24–32 (Springer, 1927).

      • Google Scholar
  30. 30.

    Alexander, JW & Briggs, GB På typer av knutna kurvor. Ann. Matematik. 28, 562–586 (1926).

      • Artikel
      • Google Scholar
  31. 31.

    Flammini, A. & Stasiak, A. Naturlig klassificering av knop. Proc. R. Soc. Lond. A 463, 569–582 (2007).

      • Artikel
      • Google Scholar
  32. 32.

    Berloff, NG Padé tillnärmningar av ensamma våglösningar i Gross – Pitaevskii-ekvationen. J. Phys. A 37, 1617–1632 (2004).

      • Artikel
      • Google Scholar
  33. 33.

    Donnelly, RJ Vortex ringar i klassiska system och kvantsystem. Fluid Dyn. Res. 41, 051401 1–31 (2009).

      • Google Scholar

Ladda ner referenser

Tack

Författarna erkänner M. Scheeler och D. Proment för användbara diskussioner. Detta arbete stöds av National Science Foundation (NSF) fakultetsprogram för tidig karriärutveckling (CAREER) (DMR-1351506) och avslutades delvis med resurser från University of Chicago Research Computing Center och NVIDIA Corporation. WTMI erkänner vidare stöd från AP Sloan Foundation genom ett Sloan-stipendium, och Packard Foundation genom ett Packard-stipendium.

Kompletterande information

PDF-filer

  1. 1.

    Kompletterande information

    Kompletterande information

videoklipp

  1. 1.

    Kompletterande film 1

    Kompletterande film

  2. 2.

    Kompletterande film 2

    Kompletterande film

  3. 3.

    Kompletterande film 3

    Kompletterande film

  4. 4.

    Kompletterande film 4

    Kompletterande film

  5. 5.

    Kompletterande film 5

    Kompletterande film